. Mye er tatt fra: Carl-Otto Johansen: Tossede tal (Ålborg 1984)
Menneskene har altid været på jagt efter det fuldkomne. 1 deres egen verden har de aldrig gjort fund, der kunne gøre sig fortjent til denne betegnelse. Men i tallenes verden eksisterer begrebet det fuldkomne tal.
Et fuldkomment tal er et tal, der kan udtrykkes som summen af, samtlige de tal der år op i det (bortset fra tallet selv).
6 er f. eks. et fuldkomment tal, for 1, 2 og 3 går op i 6 og 1 + 2 + 3 = 6. Også 28 er et fuldkomment tal, for bortset fra 28 selv går kun følgende tal op i 28: 1, 2, 4, 7 og 14. Og 1 +2+4+7+14=28.
St. Augustin sagde: - "6 er i sig selv et fuldkomment tal. Ikke fordi Gud skabte alting på 6 dage. Snarere gælder det omvendte, at Gud skabte alting i løbet af 6 dage, fordi 6 er et fuldkomment tal, og 6 ville have været fuldkomment, selv om de 6 dages arbejde ikke havde eksisteret . . ."
Allerede de gamle grækere beskæftigede sig med disse tal, og den græske filosof og matematiker Euclid fandt en formel, hvorefter det kunne lade sig gøre at bestemme alle de lige fuldkomne tal. Formlen ser således ud: 2p-1(2p - 1), og den har gyldighed hver gang 2p - 1 er et primtal (d.v.s. et tal, der kun er deleligt med 1 og sig selv).
Lad os se på denne formel i praksis. Sætter vi p = 2 får vi
.
Da 3 er et primtal er 6 altså et fuldkomment tal.
Sætter vi p = 3 får vi
.
Da 7 er et primtal er 28 altså også et fuldkomment tal.
Sætter vi p = 4 får vi
.
Men 120 er ikke et fuldkomment tal, da 15 ikke, som det krævedes, er et primtal (det er jo deleligt med både 3 og 5).
Sætter vi p=5 får vi
,
som er det 3. fuldkomne tal da 31 er et primtal.
Det 4. fuldkomne tal er 8128 og det 5. fuldkomne tal, som man efter mange og store anstrengelser først fandt frem til midt i det 15. århundrede er 33 550 336.
Hvis vi nu ser på listen over de første 5 fuldkomne tal 6, 28, 496, 8128, 33 550 336, ser vi, at der er meget store spring mellem disse tal. Men som Nicomachos fra Alexandria engang skal have sagt: "Det gode og skønne er sjældent og let talt, men det hæslige og slette findes i overflod".
Man vil videre lægge mærke til, at de 5 tal ender skiftevis på 6 og 28. Man regnede derefter i flere år med, at det 6. fuldkomne tal måtte ende på 28. Det gjorde det imidlertid ikke. Det 6. fuldkomne tal man fandt frem til var nemlig 8 589 869 056 som jo ender på 6.
Efterhånden som videnskabsmændene fik bedre og bedre tekniske hjælpemidler blev det lettere at bestemme de fuldkomne tal, og i de følgende år fandt man endnu 6, således at man indtil 1952 kendte ialt 12 fuldkomne tal. Det 7. fuldkomne tal er 137 438 691 328. Det 8. fuldkomne tal er 2 305 843 008 139 952 128.
Det 9. fuldkomne tal er 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176.
Ved hjælp af elektronhjerner har man senere bestemt endnu 11, således at man indtil for nogle år siden kendte foreløbig 22 fullkomne tal. Man vil sandsynligvis i fremtiden frode endnu flere, selv om det ikke har nogen egentlig praktisk interesse. Matematikeren, som arbejdede med at få bestemt det 12. fullkomne tal, brugte 2 timer om dagen i et helt år til dette arbejde.
For elektronhjernen tog det kun en timestil at frode frem til det mange, mange gange større tal, som skulle være det 17. fullkomne tal. Det er et tal med ikke mindre end 1373 cifre, som ender på 6.
Det 22. og foreløbig største fullkomne tal, man kender, har 5985 cifre. Man har endnu aldrig fundet et idige fullkomment tal, og vi må i denne forbindelse erindre, at Euclids formel kun gjaldt til bestemmelse af lige fullkomne tal. Man har ikke ad matematisk vej kunnet bevise, at der ikke eksisterer ulige fullkomne tal, ligeså lidt som man f. eks. er klar over, om der er uendelig mange af disse fullkomne tal.
De 22 fullkomne tal, man indtil nu kender, ender alle på 6 eller 28, men ikke efter noget bestemt princip. Endnu et uløst spørgsmål: Eksisterer der fullkomne tal, der ikke ender på et af disse te tal?
Endnu en ejendommelighed ved de fullkomne tal - bortset fra 6 - vil fremgå af denne opstilling:
…osv.
Alle de lige fullkomne tal, vi indtil nu kender, kan på samme måle udtrykkes som en sum af de ulige tals tredje potenser, hvorved man kan opstille en ny formel til bestemmelse af et lige fullkomment tal.
Selv om alle disse problemer omkring de fullkomne tal som sagt ikke har nogen større praktisk interesse vil de sandsynligvis fortsat beskæftige et stort antal matematikere, således som de nu allerede har gjort det i over 2000 år, bl. a. fordi det utvivlsomt ville være lidt af en sensation i den matematiske verden og give anledning til nye overvejelser og nye teorier, dersom en eller anden en dag skulle være så heldig at kunne præsentere verdens første idige fullkomne tal.
Opgave: Påvis at 496 er et fullkomment tal.
Oppdatert: februar 07, 2009 Hans Isdahl