2MX - 2006/07

3MX - 2007/08

Du er besøkende nr.

(Teller nullstilt 23. august 2007)

Pytagoras levde omkring fra 569 f.Kr.i Tyros, vokste opp på Samos i Egeerhavet, kom til Milet i 549 f. Kr. og traff Thales fra Milet, dro til Theben i Egypt rundt 547 f. Kr., til Babylon i 526 f. Kr. der han møtte indiske, kinesiske og jødiske matematiker, vendte tilbake til Samos omkring 516 f. Kr men falt i unåde hos Polykrates på Samos i 510 f. Kr. og flykta til Kroton der han holdt forelesninger for ungdom, danna en skole basert på religiøs mystikk og sjelevandring, flykta til Taras i 490 f. Kr. pga. politiske uroligheter og døde i 469 f. Kr., 99 år gammel. Han var en gresk matematiker og har fått æren sammen med Thales for å ha brakt orientalsk matematikk til Hellas. Mest kjent er han fordi navnet hans er knytta til den pytagoreiske læresetninga, ei setning om sammenhengen mellom de tre sidene i rettvinkla trekanter. Pytagoreerne danna et hemmelig brorskap som hadde den femtakkede stjernen, pentagrammet, som symbol. Pytagoras gjorde viktige oppdagelser innafor matematikk, astronomi og musikk. Babylonerne kjente den pytagoreiske læresetninga ellerede 1000 år før Pytagoras, men han var sannsynligvis den første som beviste at den var korrekt. Den greske matematikken innførte beviset som viktig i matematisk teori. Tidligere matematikk var av mer praktisk karakter. Av illustrasjonene ser vi at Pytagoras har vært en sentral matematiker som stadig blei avbilda.

     
Medalje fra omkring 400 f. Kr.
         

            
Pytagoras på en gresk mynt, som igjen er kopiert på et gresk frimerke

Fra freskoen Atenerskolen av Rafael

Pytagoras læresetning ser slik ut når vi tegner den som arealer, dvs. som bilder av kvadratene av kateter og hypotenus:

Bevis for Pytagoras' læresetning:

1) Thabit ibn Qurras bevis fra omkring år 880 er et av de flotteste bevisene. ABC er den gitte rettvinkla trekanten, der DEB er en kopi plassert som vist på figuren:

Kvadratene DEFG og ACHG er henholdsvis kvadratene på lillekatet (DE = AB) og storekatet (BD = AC). Vinkelen CBE er rett.

Beviset består nå i at man dreier trekanten ABC 90^o om punktet C mot klokka, og trekanten DEB 90^o om punktet E med klokka. Trekantene får da posisjonene HB₁C og BCB₁E. Kvadratet HB₁C er kavdratet på hypotenusen BC = BE og da ser vi at dette kvadratet er lik summen av kvadratene på de to katetene.

2) Et annet vakkert bevis er translasjonsbeviset der M er midtpunktet på BH:

Den minste katetens kvadrat og de fire puslespillbitene som den største katetens kvadrat er oppdelt i, kan translateres (oversettes) slik at de fyller ut hypotenusens kvadrat.

3) Enda ett bevis:

Innafor den kvadratiske ramma til venstre finnes fire eksemplarer av den gitte trekanten og kvadratet på hypotenusen. Innafor den samme ramma til høyre er de fire identiske trekantene flytta på, og det kvadratet som fyller ut det som står igjen, er kvadratet på hypotenusen.

4) Euklid har ett eget bevis, omkring 300 f. Kr., som er slik:

Kvadratet FBAG er den doble trekanten FBC, og FBC er lik ABD, og BDLM er den doble trekanten ABD. Av dette følger at kvadratet FBAG på den lille kateten er lik rektangelet BDLM. Tilsvarende vises at kvadratet KCAH er lik rektangelet CNLM, og setninga følger.

5) Den indiske matematikeren Bhaskara levde på 1150-tallet:

De to figurene inneholder det samme, og i den til høyre finner man kvadratene på katetene!

6) Kineserne kunne bevise setninga med denne figuren:

7) Det endelige, og enkleste, beviset er kanskje dette - er bygd på forholdet mellom arealer er kvadratet av det lineære forholdstallet og på formlikhet:

Fordi  Γ+ Δ = Σ blir a² + b² = c² .

Figurer og bevis er henta fra Matematikkleksikon (Kunnskapsforlaget 1997) Disse er igjen tatt fra E. S. Loomis: The Pythagorean Proposition (NCTM, 1940), der forfatteren har samla 370 ulike bevis for setninga!

Matematikere har alltid (?) hatt moro av å finne heltall som fyller spesielle betingelser. Tre heltall som passer som sider i rettvinkla trekanter, dvs. a² + b² = c² , er pytagoreiske tall eller pytagoreiske tripler. Euklid gir en formel som gjør det lett å finne dem.

Og i dette regnearket kan du finne så mange du vil: