NB: Hvis du gjerne vil eksperimentere med figurene i dataprogrammet Geogebra - gratis på nettet - kan du hente noen av figurene her. Husk på at grunnlaget er trekanten ABC, slik at hvis du trekker i et hjørne, vil resten av figuren innordne seg. Og da er det lett å få en mistanke om de ulike resultatene nedafor!

Figur 1   Figur 2    Figur 3    Figur 4

Geogebra finner dere her: www.geogebra.org/cms/

Til en trekant ABC med sidene a, b og c er det knytta ei rekke med punkter. I kapittel 7 i R1 tas de fleste opp. I tillegg skal vi se dem litt i sammenheng og ende opp med en spesiell sirkel – som ikke er pensum: Nipunktsirkelen for en trekant. Vi skal også se på trekantens omskrevne og innskrevne sirkel og trekantens ytre sirkler.

 De tre høydene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt, H.
Dette kalles ortosenteret etter ortogonalene, de loddrette linjene:

 De tre medianene i en trekant, linjene fra hjørnene og tilmidten av de motstående sidene, skjærer hverandre i ett punkt M, trekantens tyngdepunkt. Fysikeren finner tyngdepunktet ved å henge opp trekanten – den må være homogen, dvs. like tjukk og av ett materiale – i ett hjørne og trekke loddlinja; deretter henger han den i et annet hjørne, trekker loddlinja og finner M slik. (Det tredje hjørnet gir ei tredje linje, median, gjennom samme punkt.) Medianene deler hverandre i forholdet 1 : 2. Og en median deler trekanten i to like store deler, jfr. teorien om tyngdepunkt, fordi de to delene har samme toppunkt og høyde, og grunnlinja deres er like lange – de ligger rett ved sida av hverandre.

Setter vi disse to figurene sammen, ser vi dette:

Og hvis vi nå prøver å legge en sirkelbue gjennom tre av punktene Ma, Mb, Mc, Ha, Hb, Hc, ser vi at sirkelen går gjennom alle 6! En ”sekspunktsirkel”.

Men vi skal videre: Hvis vi halverer HA, HB og HC, finner vi punktene Pa, Pb og Pc – som også ligger på denne sirkelen.

Og nå er den blitt en 9-punktsirkel:

Trekker vi linjene MaPa, MbPb og McPc, ser vi at de skjærer hverandre i ett punkt, nipunktsirkelens sentrum N. Disse tre linjene er diametre i nipunktsirkelen

 Hvis vi oppreiser normaler i Ma, Mb og Mc, skjærer de hverandre i sentrum til den omskrevne sirkelen til trekanten, O:

 Eulers linje: Det viser seg så at O, M, H og N ligger på ei linje, kalt Eulers linje. Og MH = 2MO.

Vi skal se litt mer på sirkler, men bevarer likevel figuren. Trekantens innskrevne sirkel har sentrum der de tre halveringslinjene for vinklene i trekanten skjærer hverandre. Og trekantens tre ytre sirkler berører ei side på utsida sammen med forlengelsen av de andre to sidene:

Hvis vi i tillegg tegner inn den innskrevne sirkelen, får vi dette bildet:

Her ser vi hva K. W. Feuerbach (1800 – 1834) fikk mistanke om og som han beviste som 22-åring: Nipunktsirkelen tangerer den innskrevne sirkelen og de ytre tangeringssirklene til en vilkårlig trekant.

Setter vi til trekantens omskrevne sirkel, ser den slik ut: