Utgangspunktet for å
finne de eksakte verdiene som kan finnes, er regulære mangekanter innskrevet
i en sirkel. Høyden fra origo og ned på ei side kalles q3
for trekanten, q4 for firkanten osv. Tilsvarende kalles
sida til trekanten s3 osv. for de andre figurene. Vinkelen
fra origo som spenner over ei side, vil ha verdien
i n-kanten og
q og s vil stå vinkelrett på hverandre. Radien kaller vi r
i alle figurene, men skal vi finne sin, cos og tan, kan vi erstatte radien
med 1.
Trekanten:
Hvis vi nå ”glemmer” at
, kan vi i stedet bruke formlikhet og får:
og Pytagoras:
Og slått sammen:
Vi må naturligvis
bruke den positive verdien sia dette er linjestykker.
Vi må også her bruke
positiv verdi.
I
finner vi de trigonometriske verdiene direkte:
Firkanten, dvs. kvadratet:
Hvis vi nå ”glemmer” at
, kan vi i stedet bruke setningen om likebeinte trekanter,
får vi:
Vi må naturligvis
bruke den positive verdien sia dette er linjestykker.
I
finner vi de trigonometriske verdiene direkte:
Åttekanten:
Åttekanten gir oss
ikke nye opplysninger om trigonometriske verdier i forhold til kvadratet.
Sekskanten:
Vi lærer ikke noe nytt fra sekskanten i forhold til 
fra
trekanten når det gjelder vinkler og trigonometriske verdier. Men det kan
være kjekt å ta med seg:
Tolvkanten:
Vi
lærer heller ikke noe nytt av tolvkanten i forhold til tre- og sekskanten.
Tikanten:
Nå begynner ting å
bli både vanskelig og spennende! Vi møter nemlig både nye vinkler (72, 36,
18 og 54 grader!), og vi får se en definisjon av det gylne snitt.
Trekker vi linja
AL slik at AL=AB=s10, vil vi få to formlike trekanter,
, som gir oss:
Forholdet mellom
s10 og r er omtrent 0,62 og det er definisjonen på
deling etter det gyldne snitt. Av Pytagoras i
får vi:
Verdier for de
trigonometriske uttrykka for vinklene blir:
Femkanten:
Sammenhengen med tikanten er åpenbar. Og 
ved
hjelp av tikanten får vi formlikhet:
Og Pytagoras gir
oss:
Og vi får nye trigonometriske uttrykk:
Den regulære 10-kanten
kan som alle regulære mangekanter, innskrives i en sirkel. Den består av 10
trekanter som denne:
Ser vi på vinklene,
finner vi flere likebeinte trekanter, og ser at AB = AD = CD. Da AD er
halveringslinje for vinkel A, har vi at BD : DC = AB : AC. I en annen
trekant kan vi sette inn en del av linjestykkene slik:
På figuren til høyre vil
s10 = 0,62r, et forholdstall som dere kjenner fra teorien om
høydeling og gyldent snitt og gyldent rektangel i kapittel 2 i læreboka. Se
også i boka "Teller matte".
Den regulære 5-kanten kan
som alle regulære mangekanter, innskrives i en sirkel. Den består av 5
trekanter, og her ser dere forholdet mellom 10-kanttrekanten og
5-kanttrekanten:
Den siste figuren viser
en enkel konstruksjon av sida i en regulær 5-kant: s5
Her er ett eksempel på
hvordan naturen lager 5-kanter: Sjøstjerna er fiska i Ytre Sokkelvik,
Nordreisa 9. oktober 2000, og henger i dag på en vegg på Nordreisa
videregående skole:
Med litt hjelpelinjer kan
vi finne vinkler og sider og gylne snitt:
Sjukant?
Nikant? Elvekant? Trettenkant?
Hadde vi kunnet
behandle dem og funnet eksakte verdier for sider og høyder, hadde vi kunnet
finne eksakte verdier for trigonometriske funksjoner til alle heltallige
vinkler. Særlig 10 burde vært interessant. 12-kanten kan vi
benytte, men den gir oss lite nytt utover 3- og 6-kanten. Nikanten kunne
gitt oss mange svar: Vi kunne funnet sin200. Og fordi sin180
kan gi oss sin20 ved halvering. Og sin20=sin(200
– 180). Den kan vi halvere for å finne sin10. Men kan
vi finne s9 og q9? Lykke til!
