|
Du er besøkende nr.
(Teller nullstilt 23. august 2007)
|
| |
|
Sist endra: onsdag, 14. november 2007 12:37:02
-
Hans Isdahl
|
|
Likninger |
| Skal man løse likninger - eller ulikheter -
er oppdraget å fange inn den ukjente på venstre side, og alt annet på høyre
side av tegnet. Hvis vi tenker oss ei likning som ei skålvekt i
likevektsstilling, veit vi at hvis vi gjør noe på venstre vektskål, vil
vekta komme ut av likevekt dersom vi ikke gjør nøyaktig det samme på høyre
side. Slik er det også med likninger. Alt vi gjør på den ene sida, fører til
at vi må gjøre det samme på høyre side. Og det vi kan gjøre, er å gange,
dele, legge til og trekke fra, snu opp ned, opphøye i noe eller trekke ut
rot. (Ulikheter har et unntak: Når vi ganger eller deler med noe negativt,
lager vi noe som er motsatt, og dermed må vi også snu ulikhetstegnet, dvs.
bruke motsatt tegn.) Dette er enkle regler. Men en
av dem er litt spesiell: Hvis vi ikke klarer å fange x aleine på
venstre side, men x2, må
vi trekke ut kvadratrot på begge sider.
Og da får vi dobbelt sett med løsninger:
men også:
Grunnen er
naturligvis at 72
= 49 og (-7)2 = 49 ! (Det samme ville skjedd om vi trekte ut
fjerderot eller sjetterot eller åttenderot eller andre partallsrøtter. Vi
får altså to løsninger av slike andregradslikninger. Dette kan det vaære
vanskelig å huske på. Kanskje det er lettere å huske at likninger kan ha
like mange løsninger som den største eksponenten til x, altså inntil
like mange løsninger som den graden likninga er i. (Det hender at noen av
disse løsningene er ubrukelige, derfor sier vi "inntil".)
|
Historikk:
(En av kildene: Torgeir Onstad: Fra
Babel til Abel - Likningens historie (1994))
I våre dager har Marius Bakken slitt med å få
godkjent sin norgesrekord på 5000 meter. Idrett handler ofte om å sette rekorder
- dvs. være den første som utfører en eller annen bragd. Denne innstillinga har
også prega matematikeres arbeid i tusenvis av år: Det gjelder å være først med
den teorien og med beviset.
1. gradslikninger: 2000 f. Kr. - Babylonerne
nedtegnet oppgaver med f.eks. grøftegraving som måtte løses med
førstegradslikning. Kan du lage ei slik oppgave?
2. gradslikninger: 2000 f. Kr. - Babylonerne
hadde metoder - ikke formler - for å løse alle andregradslikninger der det
forekommer brøker og der svarene er rasjonale. Seinere blei abc-formelen og pq-formelen utvikla for å løse generelle andregradslikninger. Og i dag er disse
formlene lagt inn i dataprogram i PCer og i kalkulatorer.
3. gradslikninga: Idretten matematikk har
alltid vært på jakt etter de eksakte løsningene og de 100% holdbare bevisene.
Det holder ikke å løse likninger grafisk, da kan alle likninger løses på en grei
måte, om det er 13. grad eller 17,655438. grad. Tredjegradslikninga skapte
problem, men løsninga for x3 + bx = c der b og
c var positive, blei funnet av Scipione del Ferro (1465 - 1526) i 1515
og løst algebraisk av Niccolo Fontana (1499-1557), eller Tartaglia - "stammeren"
- som han blei kjent som. I 1535 hadde han ei løsning. Men på den tida var både
negative tall og imaginære løsninger et problem, slik at vi ikke fikk noen
fullstendig løsning før Rafael Bombelli (1526 - 1573) begynte å jobbe med
problemet, og regnet med "innbilte tall" som om de fantes. Den generelle
løsninga av y3 + ay2 + by + c =0
lar seg finne hvis man først substituerer (erstatter) y med y
= x - a/3.
4. gradslikninga: Ludovico Ferrari (1522
- 1565) løste den generelle fjerdegradslikninga i 1545 ved å redusere den til en
tredjegradslikning, og deretter bruke metoden til Tartaglia. z4
+ az3 + bz2 + cz + d =0 lar seg finne
hvis man først substituerer (erstatter) z med z = x - a/4.
Deretter substituerer man en gang til for å fjerne andregradsleddet og
bruke metoden til Tartaglia.
5. gradslikninga: Niels Henrik Abel (1802 - 1829) beviste i 1826
at den generelle femtegradslikninga ikke kan løses (med
rottegn, dvs. nøyaktig). Tilnærmingsløsninger veit vi alle at vi kan finne:
Tegn for eksempel grafen til funksjonen og les av skjæring med x-aksen.
6. gradslikninga: Evariste Galois (1811 -
1832) viste i 1831 at det ikke lot seg gjøre å løse noen likning av grad høyere
enn 4.
|
|
Her vil dere finne litt mer enn pensum om likninger:
Husk også på at ulikheter kan løses nesten på same måte som
likninger!
Førstegradslikninga - den
første vi møter i skolen:
Den generelle:
Andregradslikninga
- som vi lærer en formel for å løse:
Den generelle
andregradslikninga kan alltid skrives slik:
der a, b og c er vilkårlige konstanter.
a er aldri null, de andre kan være det. Beviset blir slik:
|
Utregning av formelen |
Forklaring av de
ulike trinnene i utregninga. |
 |
Generell andregradslikning.
Flytt over konstantleddet c og sett a
utafor parentes.
Divider overalt med a.
Lag et fullstendig kvadrat på venstre side etter
mønster av første kvadratsetning
Lag kvadratet og forenkle høyresida.
Ta kvadratrot på begge sider.
Skaff x aleine på venstre side.
Ordne høyre side på én brøkstrek og du har den
generelle formelen!
|
Tredjegradslikninga - med
Cardanos formel:
Denne er ikke pensum i videregående skole, og få regner ut
slike svar - uten å bruke kalkulator:
Den generelle: (Merk at vi aldri trenger ha noen annen
konstant enn 1 foran den høgste potensen: Det er jo for eksempel bare å
dividere med a overalt i de to foregående generelle formlene også.)
Dette er Cardanos formel.
Har man funnet ei av
løsningene, finner man de to andre ved å dividere vekk den ene:
Her blir svaret ei
annengradslikning med y som ukjent. Løs den.
Fjerdegradslikninga - med
Ferraris formel:
Denne er ikke pensum i videregående skole, og få regner ut
slike svar - uten å bruke kalkulator:
Som ovafor: 3. gradsleddet blir borte, og vi
substituerer de "stygge" koeffisientene foran leddene av lavest grad med
p, q og r - og legg til
 på begge sider av likhetstegnet:
Vi velger z slik at vi får et fullstendig
kvadrat på høyre side også:
Dette er en tredjegradslikning som løses med
metoden ovafor. Når vi har valgt en brukbar z, kan vi skrive inn
kvadratet vårt og løse ei annengradslikning:
Denne løses som en vanlig annengradslikning, og
man har funnet 2 svar. y finnes naturligvis ved å substituere
tilbake, og eventuelt andre løsninger finnes ved å dividere vekk de to
funne.
Femtegradslikninga
Sorry. Har du glemt hva Abel fant ut om femtegradslikninga?
Likningseventyr
- eller "adventure" som det
heter i vår virtuelle hverdag. I alle fall er dette ei lita historie der du
skal møte likninger - og ulikheter som et matematiske problem!
Vi skal ta oss en tur i likningenes verden og se hvordan
man kan tenke når man skal forske på likninger. Turen har mange digresjoner
(avveger, sideveger), men det er viktig når man forsker at man tar alle
sideveger alvorlig. Derfor ber jeg dere om både å prøve å finne svara sjøl
før dere går videre, og også at dere stikker innom sidevegene. Det ligger av
og til skatter nettopp på de bortgjemte plassene og i buskaset...
Sida er en prototyp lagd i stort tempo, hvis de er
brukbare, skal jeg prøve å lage dem bedre etter hvert. Kom gjerne med ideer!
1
Likninger er omtrent som ei skålvekt: Vi
har en venstre side som skal veies opp av vektlodd på høyre side slik at det
er likevekt. Dessuten kan vi endre den ene sida av vekta hvis vi bare endrer
den andre sida også:
Eksempel:
Per veier 70 kg.
Eksemplet her er ingen egentlig likning. Vi kaller det
i stedet en identitet.
·
Vil du vite mer om identiteter – gå til 2.
·
Vil du vite mer om likninger – gå til 3.
2
En identitet er et uttrykk med likhetstegn som alltid
er sann. Vi bruker et likhetstegn med tre streker for å markere identitet.
Eksempler:
·
Vil du vite mer om likninger? – gå til 3.
3
Bokstaver erstatter tall – som
vi ikke kjenner – i matematikken. Ofte står bokstavene også for kjente tall
som
 .
Når verdien av
bokstaven er ukjent, bruker vi gjerne x og y og z. Ei
likning er et uttrykk der to verdier er lik hverandre og der det er minst en
ukjent bokstav.
Eksempler:
3 epler koster 15
kroner, hvor mye koster ett eple?
Per og Kari har til
sammen 5 epler. Per har to. Hvor mange har Kari?
En murstein veier 3 kg og en halv murstein: Hvor mye veier en murstein?
En flaske med kork
koster kr 8,50. Flaska koster 8 kr mer enn korken. Hvor mye koster korken?
·
Finn løsningene på disse tre likningene – og gå til 4.
·
Sett opp disse eksemplene som likninger med x som den ukjente
– og gå til 5.
4
Løsningene er:
5 kroner pr.
eple
Kari har 3
epler
6 kg veier én
murstein
Korken koster
25 øre (Denne er fra tida da 25-øringen fantes.)
·
Gå til 6.
5
Prisen pr. eple er x
kr. Likninga blir:
Kari har x epler.
Likninga blir:
Én murstein veier x
kg. Likninga blir:
Korken koster x
kr og flaska y kr. Likningene blir:
·
Trenger du et hint for å løse historia om flaska og korken? –
og gå til 7.
·
Er dette greit? – gå til 6.
6
Tankegangen med å
sette opp regnestykker skulle nå være klar. Spørsmålet er nå hvordan vi skal
løse dem:
Dette er vektskåla med
eplene. Hva gjør vi for å bare få ett eple på venstre side? Vi tar vekk to
epler, men hva må vi ta vekk eller legge til på høyre side for å få
likevekt?
·
Lag en oversikt over reglene for likninger – og gå
til 8.
·
Hva om det i stedet for likhetstegn står ”større enn” eller ”mindre
enn” – gå til 9.
7
Korken koster x
kr og flaska y kr. Likningene blir:
Dette er egentlig to
likninger med to ukjente, men vi kan lett erstatte den ene med ei opplysning
fra oppgava: Flaskas pris kan vi i stedet for å kalle den y, kalle
x +8, altså korken og 8 kr.
Da får vi bare ei
likning:
·
Er dette greit? – gå til 6.
8
Vi ser av vektskåla at
vi kan gruppere i tre like på begge sider, derved vil det være likevekt om
vi tar vekk ett element på hver side, eller to.
Regnestykkene vi må gjøre,
ser slik ut:
Skal vi liste opp reglene,
blir de:
1)
Vi kan legge til samme tall på begge
sider av likhetstegnet.
2)
Vi kan trekke fra samme tall på begge
sider av likhetstegnet.
3)
Vi kan dele på samme tall på begge
sider av likhetstegnet.
4)
Vi kan gange med samme tall på begge
sider av likhetstegnet.
Én
oppsummerende regel: Vi kan gjøre hva vi vil, bare det er det samme vi gjør,
på begge sider av likhetstegnet.
·
Fins det unntak? Hva skjer hvis du ganger, deler, legger til eller
trekker fra null på begge sider? Prøv det før du: – går til
10.
·
Hva med tegnet ”ikke lik”? Hvordan blir reglene da? Prøv før du: -
går til 11.
9
Ulikheter skrives med
tegn for ”mindre enn”, ”større enn”, ”større enn eller lik” og ”mindre enn
eller lik”:
Illustrasjonen viser:
De andre
ulikhetsmulighetene er: 
·
Er det noen av reglene for likninger som ikke virker? Kan vi gjøre
hva vi vil på begge sider uten at det går galt? Hvis du vil har spesielle
innsigelser overfor tallet 0 – gå til 10.
·
Har du innsigelser når det gjelder andre tall? – Gå
til 16.
10
Hva om vi legger til 0?
Ingen ting skjer. Dette er
en lovlig operasjon som i tillegg er helt unyttig. Og det samme skjer
naturligvis om vi trekker fra 0 på begge sider.
Hva om vi ganger med 0?
Det skjer noe vesentlig og
meget uheldig: Vi ender opp med en identitet om alltid er riktig. Likninga
er ødelagt: Vi må altså ikke multiplisere med 0!
Og divisjon med 0? Deler vi
på null, blir det tull. Vi sier også at uttrykket går mot et uendelig stort
tall. Dett er lett å se om vi dividerer med et veldig lite positivt tall:
Uttrykket blir svært stort. Hvis det lille tallet er negativt, skifter
fortegnet også. Men divisjon med 0 går altså ikke.
Vi kan altså gjøre hva vi
vil med likninger, bare vi gjør det samme på begge sider av likhetstegnet og
ikke dividerer eller multipliserer med 0.
·
Skjer det samme med ulikheter? – Gå til 12.
·
Skjer det samme med ”ikke lik”? – Gå til 13.
·
Verre likninger, x i nevner: – Gå til 14.
·
Er vi usikre på om svaret er rett? Hva gjør du da? –
Gå til 16.
·
Hvis du har ganga med x fordi den sto i nevner, må du
forutsette noe pga. regelen på denne sida. Du ser det, ikke sant? –
Gå til 15.
11
”Ikke lik” er også en
matematisk-logisk sammenheng, for eksempel slik vektskåla viser: Den er ikke
i likevekt:
Regnestykkene vi må gjøre,
ser slik ut:
Dette
er for så vidt ikke verdens mest interessante regnestykker, og svarene blir
ikke så spennende. Vi får jo bare vite om en eneste verdi som den ukjente
ikke kan ha, og derved er det jo stadig uendelig mange igjen.
Én
oppsummerende regel – som for likninger: Vi kan gjøre hva vi vil, bare det
er det samme vi gjør, på begge sider av likhetstegnet.
·
Fins det unntak? Hva skjer hvis du ganger, deler, legger til eller
trekker fra null på begge sider? Prøv det før du: – går til
10.
12
Ulikheter:
Hva om vi legger til 0?
Ingen ting skjer. Dette er
en lovlig operasjon som i tillegg er helt unyttig. Og det samme skjer
naturligvis om vi trekker fra 0 på begge sider.
Hva om vi ganger med 0?
Det skjer noe vesentlig og
meget uheldig: Vi ender opp med noe som alltid er galt. Ulikheten er
ødelagt: Vi må altså ikke multiplisere med 0!
Og divisjon med 0? Deler vi
på null, blir det tull. Vi sier også at uttrykket går mot et uendelig stort
tall. Dett er lett å se om vi dividerer med et veldig lite positivt tall:
Uttrykket blir svært stort. Hvis det lille tallet er negativt, skifter
fortegnet også. Men divisjon med 0 går altså ikke.
Vi kan altså ikke
multiplisere eller dividere med 0.
·
Hva når vi opererer med negative tall? – Gå til 17.
·
Skjer det samme med ”ikke lik”? – Gå til 13.
·
Verre likninger, x i nevner: – Gå til 14.
·
Er vi usikre på om svaret er rett? Hva gjør du da? –
Gå til 15.
13
”Ulikninger”:
Dette ser riktig ut, men
hele ideen er i utgangspunktet tøvete. At vi finner ett eneste tall som x
skal styre unna, er uinteressant, sjøl om reglene er logiske:
1)
Vi kan legge til samme tall på begge
sider av ulikhetstegnet.
2)
Vi kan trekke fra samme tall på begge
sider av ulikhetstegnet.
3)
Vi kan dele på samme tall på begge
sider av ulikhetstegnet.
4)
Vi kan gange med samme tall på begge
sider av ulikhetstegnet.
Hva om vi legger til 0?
Ingen ting skjer. Dette er
en lovlig operasjon som i tillegg er helt unyttig. Og det samme skjer
naturligvis om vi trekker fra 0 på begge sider.
Hva om vi ganger med 0?
Det skjer noe vesentlig og
meget uheldig: Vi ender opp med en identitet om alltid er gal. Ulikninga er
ødelagt: Vi må altså ikke multiplisere med 0!
Og divisjon med 0? Deler vi
på null, blir det tull. Vi sier også at uttrykket går mot et uendelig stort
tall. Dett er lett å se om vi dividerer med et veldig lite positivt tall:
Uttrykket blir svært stort. Hvis det lille tallet er negativt, skifter
fortegnet også. Men divisjon med 0 går altså ikke.
Vi kan altså gjøre hva vi
vil med ulikheter, bare vi gjør det samme på begge sider av ulikhetstegnet
og ikke dividerer eller multipliserer med 0.
·
Skjer det samme med ulikheter? – Gå til 12.
·
Verre likninger, x i nevner: – Gå til 14.
·
Er vi usikre på om svaret er rett? Hva gjør du da? –
Gå til 15.
14
Vi går over til verre
likninger: Hva når vi har x eller x-uttrykk i nevner?
 
Dette ser rimelig ut, men
vi kan ha gjort noe ulovlig…
·
Hvis du ser hva som kan være ulovlig – gå til 15.
·
Hvis du trenger et hint – gå til 10.
15
Problemet er at når vi
ganger med et x-uttrykk, kan vi jo ha ganga med null. Vi må derfor
gjøre ei forutsetning:
NB: 
Hadde vi nå fått svaret
 hadde
det faktisk vært et ubrukelig svar, og likninga ville ikke gitt oss noe svar
i det hele tatt.
·
Da kan du gå videre – til 16.
16
Av og til når vi har gjort noe som:
1)
Er tvilsomt
2)
Noe som er riktig, men der det kan ha
oppstått flere løsninger
3)
Vi ikke er sikre på om er riktig, slik
at vi ønsker å kontrollere svaret
Da setter vi prøve på løsninga eller løsningene.
Vi vil sjekke om x
er 6, og regner ut hver av de to sidene, uten å sette dem lik
hevrandre!
Venstre
side:
Høyre side:
Vi ser at de to sidene
er like: Svaret er derfor riktig!
·
Da kan vi gå løs på likninger av høgere grad: - Gå
til 18.
17
Ulikheter:
Hva om vi ganger med et
negativt tall?
Ingen ting skjer. Dette er
en lovlig operasjon som i tillegg er helt unyttig. Og det samme skjer
naturligvis om vi trekker fra 0 på begge sider.
Hva om vi ganger med 0?
Det skjer noe vesentlig og
meget uheldig: Vi ender opp med noe som alltid er galt. Ulikheten er
ødelagt: Vi må altså ikke multiplisere med 0!
Og divisjon med 0? Deler vi
på null, blir det tull. Vi sier også at uttrykket går mot et uendelig stort
tall. Dett er lett å se om vi dividerer med et veldig lite positivt tall:
Uttrykket blir svært stort. Hvis det lille tallet er negativt, skifter
fortegnet også. Men divisjon med 0 går altså ikke.
Vi kan altså ikke
multiplisere eller dividere med 0.
·
Hva når vi opererer med negative tall? – Gå til 17.
·
Skjer det samme med ”ikke lik”? – Gå til 13.
·
Verre likninger, x i nevner: – Gå til 14.
·
Er vi usikre på om svaret er rett? Hva gjør du da? –
Gå til 15.
18
Hvordan skal vi kunne løse
likninger der x er i annen grad? Hvordan kan vi da bli kvitt
eksponenten?
Vi kan i alle fall fjerne
alt utenom  .
·
For å bli kvitt ”noe som gjør noe” må vi finne på noe som motvirker
eller opphever dette ”noe”. Dette er et prinsipp som gjelder i mange
tilfelle, særlig i matematikken. Tenk på eksempler der noe blir oppheva av
noe annet! – Gå til 19.
·
Har du løst problemet? – Gå til 20.
19
Det motsatte av ”i annen”
er kvadratrot. Vi har tidligere kommet fram til at vi kan gjøre noe på hver
side av likhetstegnet i ei likning, bare det er det samme. Hva med å trekke
ut kvadratrota?
Hvis vi setter inn 7 for
x i det opprinnelige uttrykket, stemmer likninga. Fins det flere
løsninger? Setter vi inn tall fra 0 til 7, blir venstre side for liten. Og
tall større enn 7 gir for stor venstreside.
·
Prøv om det fins andre tall! Det skal være ett til. –
Gå til 20.
20
Ei annengradslikning har
opptil 2 løsninger. I dette tilfellet får vi:
·
Gå til 21.
21
Hva om uttrykket er litt
mer komplisert?
Her er det vanskelig å bare
få x på venstre side.
·
Prøv ut et spesielt knep: Null på høyre side og ferdig faktorisert
venstre side. Hvordan kan det hjelpe deg? – Gå til 22.
22
Vi dividerer bort 3-tallet.
Når et ferdig faktorisert uttrykk er lik null, fins det en mulig løsning at
faktorene kan være lik null fordi at en faktor lik null gjør hele uttrykket
til null!
Enten:
Eller:
·
Gå til 23.
23
Hva om vi har det mest
kompliserte uttrykket vi kan ha med x i annen grad: Tre ledd – etter
at uttrykket er ordna:
·
Ser du noen mulighet til å bare få x på venstre side? –
Gå til 24.
·
Kan vi faktorisere venstre side? – Gå til 25.
·
Klarer du å lage et kvadrat på venstre side slik at du kan trekke ut
rota på begge sider? – Gå til 28.
24
Det er ikke mulig å få x
aleine på venstre side når vi har både andre- og førstegradsledd i x.
–
·
Gå til 25.
25
Faktorisering? Vi kan jo
prøve og feile. Ser du noen mulighet?
·
Kan vi bruke en kvadratsetning baklengs? – Gå til 26.
26
Sia utgangspunktet bare har
pluss, prøver vi med 1. kvadratsetning og passende tall. Den nederste
stemmer med to av tre tall, men det siste er galt: Her gikk det ikke
med kvadratsetning, sjøl om vi var like ved!
·
Gå til 27.
27
Vi prøver igjen:
Bingo! Her traff vi, og kan
løse likninga slik:
Etter metoden ovafor kan vi
sette hver av faktorene lik null og regne ut;
Enten:
Eller:
Men prøving og feiling er
uelegant og utilfredsstillende, og dessuten kommer vi ikke til å treffe
dersom uttrykkene er mer kompliserte, for eksempel med desimaltall og
brøker, eller når løsningene ikke er hele tall.
·
Vi må prøve med et kvadrat: - Gå til 28.
28
Vi prøver å bruke de to
x-ledda til å lage et kvadrat og lar konstantleddet stå på høyre side. Å
lage et kvadrat følger kvadratsetningene, enten den første eller den andre:
Her blei det et kvadrat, og
nå kan vi trekke ut kvadratrot på begge sider:
Enten:
Eller:
·
Nå trenger vi en generell formel for alle andregradslikninger. Kan du
klare det ved å bruke denne siste metoden? Metoden fins her: -
Gå til 29.
29
Vi prøver å bruke de to
x-ledda til å lage et kvadrat og lar konstantleddet stå på høyre side. Å
lage et kvadrat følger kvadratsetningene, enten den første eller den andre.
Men denne gangen bruker vi den generelle formelen, der a, b og
c kan være hva som helst. b og c kan til og med være
0.
(Dersom
 har
vi ikke lenger en annengradslikning.)
Derved får vi den generelle
løsninga for alle andregradslikninger:
Dette er en av
matematikkens verste formler, men svært viktig!
·
Gå til 30.
30
Her er tre oppgaver:
Bruk formelen for
andregradslikninger!
·
Sleit du med den første? – Gå til 31.
·
Hva med den andre? – Gå til 32.
·
Og den tredje? – Gå til 33.
·
Var det greitt? – Gå til 34.
31
Innsetting gir oss:
·
Sleit du med den andre? – Gå til 32.
·
Og den tredje? – Gå til 33.
32
Innsetting gir oss:
Her blei det bare ei
løsning. Da kunne vi faktisk ha faktorisert etter en kvadratseting:
Men det er jo ikke så lett
å se det, da!
·
Sleit du med den tredje oppgava? – Gå til 33.
33
Innsetting gir oss:
er ikke reell, eller et imaginært tall (Virtuelt ville vi vel kalt det med
dagens sjargong.) Men hvis vi kaller det i, kan vi late som om svaret
er greit, og regne videre med det som et vanlig tall. Teorien omkring
regning med i kaller vi regning med komplekse tall.
Kalkulatoren deres gir dessuten svar med i, den sier ikke ”galt”
eller ”ingen løsning”.)
Glem i til dere
møter den igjen i eventuelle matematikkstudier etter videregående… Likninga
har ingen svar – for oss!
Historia om de komplekse
tallene er historia om tall som ikke ligger på tallinja! Tenk deg at
tallinja er x-aksen. Da ligger de komplekse tallene rundt omkring i
koordinatsystemet, på y-aksen, i de ulike kvadrantene osv. Løsningene ovafor
har for eksempel koordinatene  mens
alle de reelle tallene har jo 0
som andrekoordinat!
·
Da kan du gå tilbake dit du kom fra.
34
Vi har nå kommet fram til
en grunnleggende egenskap ved polynomer: De kan uttrykkes som faktorer der
hver faktor kan skrives som  der
 er
verdien av løsningene når vi setter polynomet lik null.
Første grad:
Andre grad:
Tredje grad:
Fjerde grad:
…
n te
grad: 
Denne formelen virker også
sjøl om løsningene, røttene, ikke er reelle tall.
Det fins en spennende
sammenheng mellom røttene i likninger. Prøv å legge sammen de to generelle
røttene i annengradslikninga: 
Deretter
prøver du å gange dem sammen. Svarene er spennende.
·
Vil du se hva som skjer? – Gå til 35.
·
Tredjegradslikninger? – Gå til 36.
35
I alle andregradslikninger
gjelder:
I alle tredjegradslikninger
gjelder:
Og mønsteret fortsetter for
høgere grads likninger.
·
Gå til 36.
36
Tredjegradslikninga  blei
løst i Italia på 1500-tallet.
Les om Scipione Ferro
(1465-1526) og Niccolò Tartaglia (1499-1557) i leksikon eller på internett.
·
Hva med fjerdegradslikninga? – Gå til 37.
37
Fjerdegradslikninga  blei
også løst i Italia på 1500-tallet.
Les om Ludovico
Ferrari(1522-1565) i leksikon eller på internett.
·
Hva med femtegradslikninga? – Gå til 38.
38
Femtegradslikninga  er
uløselig knytta til Niels Henrik Abel (1802-1829).
Les om Abel i leksikon
eller på internett.
·
Hva med ulikheter? – Gå til 39.
39
Når vi kan faktorisere
likninger, kan vi faktisk løse ulikheter på en meget elegant måte. Vi
trenger bare å skaffe oss 0 på høyre side i ulikheten, faktorisere hele
venstre side og avgjøre når de ulike faktorene er positive, negative og
null. Slår vi sammen disse fortegnene, finner vi fortegnet for hele
uttrykket i ulike områder, og dermed kan vi svare på når venstre side er
større enn, mindre enn eller lik null.
·
Prøv ut hvordan du kan gjøre dette. – Gå deretter til ei side om
fortegnslinjer - gå til 41.
40
Alle likninger og ulikheter
kan løses grafisk med lommeregnere med grafisk grensesnitt – de vi bruker i
videregående skole i dag – eller ved å tegne sjøl. Teknikken er å late som
om venstre side i ei likning er én funksjon og høyre side er en annen
funksjon. Når du tegner opp disse i samme aksesystem, vil du kunne se når
grafene skjører hverandre – likning – og i hvilke områder den ene er høgere
enn (>) eller lavere enn (<) den andre – ulikheter.
·
Gå
tilbake der du var!
41
Fortegnslinjer beskrives i
kapittel 1 i 2MX-boka på Aschehoug forlag.
|
|
