To av disse
bevisene er gjort med definisjonen for den deriverte. Læreboka gjør det
på en enklere måte! Lærebokas metoder er flotte
og elegante, men det er et poeng å bruke definisjonen for derivasjon når
man beviser: Her er to eksempler på det.
(De andre to eksemplene følger av disse bevisene.)
Bevis for en ny og spenstig derivasjonsregel: Derivasjon av 
Vi skal nå gjøre en
substitusjon for å få et enklere uttrykk:
Først legger vi merke til at
Vi substituerer:
Merk også
at h går mot null akkurat på samme måte som går
mot null.
Definisjonen for e er
Altså får vi det
nydelige svaret på derivasjonen:
Bevis for
derivasjon av 
der
a er et vilkårlig tall:
Her brukte vi
definisjon av logaritmer, kjerneregel og den nye ovafor!
Bevis for
derivasjon av lnx:
Vi substituerer:
Merk også at h
går mot null akkurat på samme måte som 
går
mot null.
Da bør vi vel også
derivere lgx:
