|
Plan for skoleåret
2007/2008:
Kapittel 5: 1/1 – 31/1. Kapittel 6: 31/1 – 29/2. Kapittel 7: 29/2 –
3/4. Prøver på 2 eller 1 skoletime etter hvert kapittel. Én heildagsprøve i andre termin.Repetisjon, prøver, muntlig, økter,
diverse arbeid: april – juni.
Vi
fortsetter med våre 3-minutters prøver og kåserier og dagens tall…
Kapittel 4 er et
integrasjonskapittel. Vi repeterer først kunnskapene fra i fjor.
Integrert er lik omvendt derivert, såkalt antiderivert: Deriver svaret
deres, og dere vil se om dere har gjort integreringa rett. Merk dere
også de to lommeregnermetodene som virker på bestemte integral: En
integrerer utfra formel, en annen integrerer og viser arealet utfra
grafen. Legg også merke til at sjøl om vi ikke kan regne ut alle
antideriverte (sjøl om vi kan derivere alt!), kan kalkulatoren beregne
numerisk alle bestemte integral: Den antideriverer nemlig ikke, men
bruker tilnærmingsmetoder for å finne arealer med krumme sider.
Dere skal lære to
nye metoder: Delvis integrasjon – som hjelper oss å integrere en
del produkter. Noen egentlig produktformel har vi ikke. Og
integrasjon ved substitusjon – som kan brukes for en del produkter,
men som mest likner på integrasjonens kjerneregel. Noen kjerneregel for
integrasjon har vi heller ikke. Dette er metoder som ikke alltid fører
fram, og der dere kanskje må prøve og feile før dere finner hvordan
dere skal velge å bruke metodene. Og akkurat dette er ei form for
matematikk som ikke likner på det dere har gjort tidligere, der dere
alltid veit at metodene fører fram! Avansert! Dessuten skal dere lære å
beregne volumer med integrasjon: Det er spennende og langt enklere enn
man skulle tro!
Tommy og
Tigern (Calvin and Hobbes):
T&T bind 3 side 131n
|
Kladd |
Innhold
|
Dato
|
|
4.1, 4.2, 4.3,
4.4, 4.5, 4.6
406, 413 |
Repetisjon:
Det ubestemte integralet er det omvendte av den
deriverte. Husk å legge til en konstant når dere integrerer
for å få med alle løsninger. Den deriverte av en konstant er
jo null!
Et bestemt integral er vanligvis et areal, i alle
fall er det et integral mellom to bestemt grenser, to x-verdier.
Skulle dette integralet ligge under x-aksen blir det
negativt, ellers positivt.
Formlene for antiderivering er derivasjonsformlene
baklengs, og står i formelsamlinga!
På lommeregneren – bare tilnærma og bare bestemte
integral:
a) Med formel:
RUN-menyen: OPTN – CALC -
 -
f-uttrykket
,
nedre x-verdi
,
øvre x-verdi ) – EXE
b) Fra grafen:
Graph-menyen: Legg inn f-uttrykket – V-WINDOW - Xmin:
nedre x-verdi – Xmax: øvre x-verdi
– scale: 1 – Ymin/Ymax: velg passende
– scale: 1 – EXIT – DRAW – G-solv - w -
-
gå til nedre (lower) x-verdi (den står allerede i 1)
– EXE - gå til øvre (upper) x-verdi – EXE – arealet
males og svaret kommer. |
20/11
|
|
Innføring til
kapittel 3: 372, 375, 377, 380 |
20/11 |
|
4.7, 4.8, 4.9,
4.10
417, 420 |
Delvis integrasjon:
Vi
bruker multiplikasjonsformelen for derivasjon baklengs. Når
 ,
må
Hvis vi har et produkt der vi kan integrere den første
faktoren u’(x) og derivere den andre v(x), kan
vi omforme uttrykket med denne formelen til uv og til
et nytt uttrykk som vi kanskje kan integrere: uv’.
Hvis vi velger u og v dumt, prøver vi igjen
med motsatt valg. |
21/11 |
|
Prøve i kapittel 3 |
27/11 |
|
4.11, 4.12
425, 428, 430 |
Integrasjon ved substitusjon (variabelskifte):
Vi kan erstatte ekle x-uttrykk med en ny variabel,
u(x). Da må vi også erstatte dx med et u-uttrykk
etter formelen:
 ,
dvs.  .
Og hvis x-en blir borte og u-uttrykket er
enkelt å integrere, kan vi i stedet integrere det! I et
bestemt integral må vi dessuten: Enten substituere tilbake
til x før vi setter inn øvre og nedre grense, eller
vi kan substituere grensene på samme måte, etter formelen
for u(x). Dette er egentlig å tenke kjerneregel
baklengs, og det gjør at vi kan løse for eksempel uttrykk
der vi bl.a. skal integrere kvadratrot av et sammensatt x-uttrykk.
Umulige integraler: Vi kan absolutt ikke integrere
alle uttrykk, sjøl om vi kan derivere alle uttrykk! Likevel
kan vi gjøre det med numeriske metoder dersom det er
bestemte integraler: Bruk kalkulatoren og les kapittel 4.7! |
28/11 |
| |
Delbrøkoppspalting:
Det fins ingen
generell brøkregel for integrasjon, slik som for derivasjon,
og det er umulig å bruke regelen for derivasjon av brøker
baklengs. Da skal man i tilfelle være god! De eneste brøkene
man kan ta direkte, er de hvor du har et førstegradsuttrykk
med x i nevner og en konstant i teller:
Da gjelder: 
Men i mange
tilfelle går det an å gjøre kompliserte brøker om til
enklere uttrykk: I noen tilfelle kan man dividere teller med
nevner og få et uttrykk uten brøk og en rest som i
eksempelet ovafor. Og i noen tilfelle kan man dele opp en
komplisert brøk i en sum av brøker som i uttrykket ovafor:
Delbrøkoppspalting.
Her er et par
eksempler:
Divisjon:
Legger vi sammen resultatene, får vi et uttrykk som kan
integreres: 
Delbrøkoppspalting:
Vi
påstår at det opprinnelige uttrykket kan skrives slik, og
vil finne A og B utfra to likninger som skal
gjelde, uavhengig av x:
Dette er ikke to fullstendige metoder, men av og til kan de
brukes. Den øverste metoden metoden kalles
polynomdivisjon, og den går ikke alltid. Her er et
eksempel:
(Dere kjenner kanskje igjen formelen som summen av ei
uendelig geometrisk rekke med første ledd lik 3 og kvotient
lik –x2 der kvotienten er mellom –1 og +1?) |
Ikke pensum lenger, men en mor-som metode som ikke bare har
med inte-grasjon å gjøre! Dette dreier seg om brøk! |
|
4.13, 4.14, 4.15
432, 435 |
Volumberegninger:
Når vi integrerer, summerer vi egentlig uendelig menge
høyder som til sammen skal utgjøre arealet mellom grafen og
x-aksen. Hvis vi i stedet har et volum, er romlegeme
som ligger parallelt med x-aksen, kan vi tenke oss at
vi skal summere alle snittflatene vi får når vi skjærer i
legemet, normalt på x-aksen, og dette skal bli
volumet. Dette må passe med integralteorien vår:
 .
Hvis vi kan finne en formel for dette arealet, uttrykt ved
x, vil dette bli volum! |
28/11 |
|
4.17, 4.18, 4.19,
4.20, 4.21
437, 440, 445 |
Volum av
omdreiningslegemer:
Hvis vi lar en
vanlig grafe snurre om x-aksen, vil problemstillinga
bli svært enkel. f-verdien vil utgjøre radien i
snittflata og arealet bli etter sirkelformelen
 slik
at volumet blir:
 ,
et integral som av og til er svært enkelt!
Volum av overflater:
(Ikke pensum, ikke i boka) Som dere skjønner må vi integrere
omkretser til legemet, altså summere alle omkretsene fra
start til slutt. Når det gjelder omdreiningslegemer, må vi i
stedet for å integrere arealet til en sirkel integrere
omkretsen: 
Og hva med lengden av en grafe? (Ikke pensum, ikke i
boka) Her må vi faktisk summere uendelig mange hypotenuser i
trekanter – de samme som vi brukte for å derivere – fra
start til slutt:
 ,
som ofte er kompliserte integral. Prøv å finne ut hvorfor
formelen blir slik. |
29/11 |
| |
Volumet av en pyramide:
Her står beviset for formelen for pyramider. Og den kan
utvides til å gjelde avkorta pyramider. |
4/12
|
|
4.22, 4.23, 4.24,
4.25, 4.26, 4.27
449, 450, 452 |
Numerisk matematikk:
Heron
(ca. 200 f. Kr.) – mest kjent for Herons formel – fant en
numerisk metode for å tilnærme kvadratrøtter til
desimaltall: Metoden han brukte kalles iterasjon.
Ptolemaios (ca. 140 e. Kr.)– mest kjent for sitt
verdensbilde og målinger i verdensrommet – brukte numeriske
metoder for å finne forholdet mellom lengder av en korde i
en sirkel og radien av sirkelen: Lineær interpolasjon var
hans metode.
Henry Briggs (1561 – 1630) lagde tabeller over
logaritmen til tall. Logaritmeregninga var en rask måte å
multiplisere og dividere kompliserte tall og regne ut
potenser og røtter.
Isaac Newton (1642 – 1727) – mest kjent som fysiker
og praktisk matematiker – fant opp metoder for å regne ut
uberegnelige integraler.
Thomas Simpson (1710 – 1761) hører også med i utviklinga
av metoden: Interpolering.
Joseph Raphson (1678 – 1715) videreutvikla metoden
til Newton til Newton-Raphsons metode. Målet var ofte å løse
uløselige likninger numerisk, ved hjelp av grafer og
tilnærming til skjæringspunktene ved hjelp av iterasjon. |
4/12 |
|
Alle bør kjenne den andre av Norges mest kjente
mate-matikere |
Sophus Lie:
Oppgaver:
1) Når levde Lie og hvor vokste han opp?
2) Hvor gammel var han da han virkelig kasta seg over
matematikken?
3) Hvilket yrket hadde han?
4) Både Abel og Lie var mye utenlands: Hva kan grunnen være
til det?
5) På hvilke områder i matematikken har Lie gjort seg kjent?
6) Lie er plassert etter kapittel 4 og integrasjon i boka.
Dette har sammenheng med at han var flink til å løse og
finne metoder for løsning av differensiallikninger: Hva er
differensiallikninger? |
5/12 |
·
Bruk
spørsmåla "Rett eller galt?" på side 64 i oppgavesamlinga til å teste
deg sjøl på slutten av kapitlet, og som repetisjon.
·
Husk
dessuten på at oppgavene 408e, 428b, 437a og 462 er løst bak i
oppgavesamlinga.
|
Innføring:
456ae, 457, 459, 467 |
|
|
Prøve |
|
Tommy og Tigern (Calvin and Hobbes):
T&T bind 3 side 165ø |
