2.8, 2.9, 2.10

Eksakte trigonometriske verdier: Vi kan finne eksakte verdier for sin, cos og tan til en del vinkler. (0, 18, 30, 45, 54, 60, 72 og 90⁰, og summer, differanser, halvdeler, halvdeler av halvdeler av og det dobbelte av disse vinklene.) Dere skal lære noen:

2.25, 2.26, 2.27, 2.28, 2.29, 2.30

2.31, 2.32, 2.33, 2.34

Og så forlater vi "pensum":

Vi hadde ikke trengt å nøye oss med disse sammenhengene. I tidligere tiders matematikkpensum fantes for eksempel disse formlene i tillegg:

I den regulære femkanten og den regulære tikanten kan vi finne sidene og vinklene med eksakte uttrykk. Derved er det mulig å finne sinus, cosinus og tangens med eksakte uttrykk til en del andre vinkler:

Og hvis man bruker formler for de halve vinklene – se ovafor – kan man finne eksakte uttrykk til en del andre vinkler også. Dessverre kan man ikke finne eksakt uttrykk for 1⁰, og derved er det en god del vinkler som ikke har eksakte uttrykk.

Ved bruk av formler – de ovafor for eksempel – kan man finne eksakte verdier til og :

Dette er ikke noen pene uttrykk, men et eksempel på hvordan man kan finne eksakte uttrykk ved hjelp av formelapparatet for trigonometriske funksjoner.

Vi tar med ei rekkeutvikling for tangens også:

Her er B_n Bernoulli-tall nr. n – slå opp, for eksempel på plan for kapittel 1 når sidene våre er oppe igjen. Det stilles krav til vinklene her, og vi må bruke et annet vinkelmål enn grader – se kapittel 6.

Eksakte sinus-, cosinus- og tangensverdier:

Utgangspunktet for å finne de eksakte verdiene som kan finnes, er regulære mangekanter innskrevet i en sirkel. Høyden fra origo og ned på ei side kalles q₃ for trekanten, q₄ for firkanten osv. Tilsvarende kalles sida til trekanten s₃ osv. for de andre figurene. Vinkelen fra origo som spenner over ei side, vil ha verdien  i n-kanten og q og s vil stå vinkelrett på hverandre. Radien kaller vi r i alle figurene, men skal vi finne sin, cos og tan, kan vi erstatte radien med 1.

Trekanten:   Hvis vi nå ”glemmer” at , kan vi i stedet bruke formlikhet og får:

og Pytagoras:

Og slått sammen:

Vi må naturligvis bruke den positive verdien sia dette er linjestykker.

Vi må også her bruke positiv verdi.

I finner vi de trigonometriske verdiene direkte:

Firkanten, dvs. kvadratet: 
 Hvis vi nå ”glemmer” at , kan vi i stedet bruke setningen om likebeinte trekanter, får vi:

Vi må naturligvis bruke den positive verdien sia dette er
linjestykker.

I finner vi de trigonometriske verdiene direkte:

Åttekanten:
Åttekanten gir oss ikke nye opplysninger om trigonometriske verdier i forhold til kvadratet. Men formlene her er kjekke:

Sekskanten: 
 Vi lærer
ikke noe nytt fra sekskanten i forhold til fra trekanten når
det gjelder vinkler og trigonometriske verdier. Men det
kan være kjekt å ta med seg:

Tolvkanten:
Vi lærer heller ikke noe nytt av tolvkanten i forhold til tre- og sekskanten, men et
par formler kan vi jo ta med:

Men Arkimedes utvida 12-kanten til en 96-kant for å finne en god
verdi for π: Han laga en sirkel og en innskrevet og en omskrevet
96-kant. Ved å beregne omkretsen av de to tolvkantene, fant han at omkretsen til sirkelen, 2πr, lå mellom disse to verdiene, og derved fant han π slik:

223/71 < π < 22/7, altså at 3,140845...< π < 3,142857...  Prøv sjøl!

Tikanten: 
 
Nå begynner ting å bli både vanskelig og spennende! Vi møter
nemlig både nye vinkler (72, 36, 18 og 54 grader!), og vi får
se en definisjon av det gylne snitt.

Trekker vi linja AL slik at AL=AB=s₁₀, vil vi få to formlike
trekanter, , som gir oss:

Forholdet mellom s₁₀ og r er omtrent 0,62 og det er definisjonen på deling etter det gylne snitt. Av Pytagoras i  får vi:

Verdier for de trigonometriske uttrykka for vinklene blir:

Femkanten:   Sammenhengen
med tikanten er åpenbar. Og ved hjelp av tikanten får vi formlikhet:

Og Pytagoras gir oss:

Og vi får nye trigonometriske uttrykk:

Sjukant? Nikant? Elvekant (ellevekant)? Trettenkant?
Hadde vi kunnet behandle dem og funnet eksakte verdier for sider og høyder, hadde vi kunnet finne eksakte verdier for trigonometriske funksjoner til alle heltallige vinkler. Særlig 1⁰ burde vært interessant. 12-kanten kan vi benytte, men den gir oss lite nytt utover 3- og 6-kanten. Nikanten kunne gitt oss mange svar: Vi kunne funnet sin20⁰. Og fordi sin18⁰ kan gi oss sin2⁰ ved halvering. Og sin2⁰=sin(20⁰ – 18⁰). Den kan vi halvere for å finne sin1⁰. Men kan vi finne s₉ og q₉?

En annen tanke er at vi kan lage formler for  og deretter ta utgangspunkt i 3⁰ for å finne 1⁰. Det fins en slik sammenheng:

Syttenkant? Hundreogfemtisjukant?
Knapt 19 år gammel fant Carl Friedrich Gauss ut hvilke regulære mangekanter som kan konstrueres med bare linjal og passer (17-kant, 157-kant etc). Det var det første framskrittet på dette området siden antikken. Og et resultat av disse konstruksjonene er at det går an å finne eksakte verdier for vinklene i disse mangekantene – men de er ikke så veldig interessante…