Aritmetiske rekker: Det fins mange slags rekker. Vi skal konsentrere oss om 2 typer, aritmetiske og geometriske. "Aritmetisk" henger nøye sammen med addisjon.
Definisjon: Ei aritmetisk rekke er ei rekke der hvert ledd er lik leddet foran pluss et fast tall. (Det faste tallet kan være negativt.) a₂ = a₁ + d og a_n = a_{n -1} + d (Det faste tallet kalles differens og skrives generelt med bokstaven d.)
Formel: Det n-te leddet i ei aritmetisk rekke er gitt ved a_n = a₁ + (n - 1)d
Bevis: (I boka står det ikke bevis, bare ei utregning for et visst antall ledd.)

Rekkas differens er alltid enkel å finne: Ta to ledd som kommer etter hverandre og regn ut differensen. Dette er også beviset for å vise at ei rekke er aritmetisk: Hvis differensen er konstant.
Snudd formel: d = a₂ – a₁ = a_n – a_n-1
Hvis dere for eksempel kjenner ledd 65 og ledd 3 i ei aritmetisk rekke, må det være 62 d’er mellom disse to ledda: 62d = a₆₅ – a₃.

Summen S_n av de første n ledd i aritmetisk rekke: (C. F. Gauss sitt knep fra tidlig skolealder gikk ut på å summere første og siste ledd, andre og nestsiste ledd osv. Disse summene blir like. Så trengte han til slutt å gange disse summene med halvparten av antall ledd. Var det et ulike antall ledd, la han til rekkas midterste ledd. Dette kan settes opp i en enkel formel. Vi bruker en litt annen tankegang.)
Formel: Summen av de n første leddene i ei aritmetisk rekke er
 
(Formelen er lett å forstå når vi heller sier den slik: Summen er gjennomsnittet av alle leddene multiplisert med antall ledd.)

Bevis: (I boka står det ikke bevis, bare ei utregning for et visst antall ledd.)

Det er lett å se at alle leddene i parentes er like store, og kan skrives som a₁ + a_n :

Ellers kan vi skrive denne summen med summetegn. Og vi kan bruke kalkulatoren til å regne summe-uttrykket: Hvis det generelle leddet kan uttrykkes for eksempel som a_n = 1800 + (n – 1)200, uttrykkes summen av de 12 første ledda med den greske bokstaven sigma (stor s) slik:

Lommeregneren bruker samme tegn, men en litt annen skrivemåte. Tast inn:
<OPTN> <CALC> <8 > S ( 1800+(X - 1) ´ 200 , X , 1 , 12 , 1) <EXE>
Etter sigma, summetegnet, leses inn formelen for det generelle leddet og en del parametre: Navn på den variable, startsted, sluttsted, sprang. "Sprang" kan sløyfes hvis det skal være 1! Men kalkulatoren kan også brukes til å ta andre sprang!)

Av og til er det ikke enkelt å finne summeformler. Her er bevis for noen enkle rekker med vriene formler:
Summen av de n første heltallene – med utregninger:

Summen av de n første kvadrattallene går på samme måten:

Og summen av de n første kubikktallene:


Og her er ei liste over noen formler av samme type:

Er ikke sammenhengen mellom den første og den tredje formelen ganske underlig?
Det fins faktisk en generell formel som sammenfatter alle disse, men den involverer en meget spesiell og vanskelig formel for tallene som står foran hvert av n-uttrykka. Se nedafor!

Polynomdivisjon og rekkeutvikling:
Fra før av kan dere dividere to tall med hverandre:

Her blir resten 2 og dere kan lage blanda tall ved å dele resten på divisoren 5 og få 2/5. Skal dere dividere helt ferdig, må dere bruke komma i stedet, og legge til nuller:

Vi kan bruke samme teknikk for å dividere to polynomer på hverandre:

Polynomene er ordna på vanlig måte. Vi skal dividere vekk ledd for ledd, ikke siffer for siffer. Derved må x gå opp i 3x⁴, og vi må multiplisere x med 3x³ for å få til det. Dette kan vi ikke gjøre uten å multiplisere –1 med 3x³ også. Deretter må vi ta det uttrykket vi lagde, 3x⁴ – 3x³ , og trekke fra det opprinnelige uttrykket. Så begynner vi igjen, finner hva vi må gange med – det resultatet legges til det vi hadde fra før – og trekker et nytt uttrykk fra, ser hva som blir igjen osv. Dersom resten til slutt blir 0, har divisjonen gått opp – og vi har faktisk klart å forkorte en brøk uten å faktorisere først! (Se eksemplet over.)

Dere har lært om uendelige konvergente geometriske rekker at summen av uendelig mange ledd blir en brøk:

Hvis vi nå prøver å dividere teller på nevner her – etter metoden ovafor – får vi:

Og derved ser vi sammenhengen mellom en brøk og et (av og til) uendelig langt uttrykk. Hva med en tilfeldig brøk?

Her tok vi ikke utgangspunkt i noen rekkeformel. Likevel ser vi at resultatet vårt blir ei rekke. Og ser vi på uttrykket, ser vi at dette også er ei geometrisk rekke.
Brook Taylor (1685 – 1731) fant en generell formel – Taylors formel (publisert 1715) – som omdanner funksjoner til rekker.
Det er ikke overraskende at vi – som vanlig – kan derivere og integrere begge sider av likhetstegnet og få nye rekker. (Prøv på den ovafor, la x være den variable…)
Colin Maclaurin (1698 – 1746) brukte Taylors formel for å lage maclaurinutviklinger av kjente funksjoner (publisert 1742). Noen eksempler:

Legg merke til at den siste oppstår ved å derivere den nest siste. Prøv deretter å derivere eller integrere den øverste: Hva ser du? Prøv det samme med nummer to.

Ulike rekketyper:

Aritmetisk-geometriske rekker: Hva skjer når ei rekke skal være både aritmetisk og geometrisk?

der . Dette er ei rekke som både er aritmetisk (hvert ledd øker med d) og geometrisk (hvert ledd multipliseres med k. Dersom er rekka konvergent og summen blir:

der forholdet kan beskrives som en funksjon. Gauss studerte slike rekker.

Aritmetisk, geometrisk og harmonisk: Hva ligger i begrepene?

Vi snakker om aritmetiske, geometriske og harmoniske rekker og følger. Og vi bruker de samme begrepene om gjennomsnitt, om middeltall:

Aritmetisk middeltall: Dette er det vi vanligvis omtaler som gjennomsnitt av en mengde målte tall – gjennomsnittsalder, gjennomsnittvekt. Gjennomsnittsfart, gjennomsnittskarakter. Gjennomsnittet av blir: . Det aritmetiske har med summering å gjøre.

Geometrisk middeltall: Vi tenker oss et geometrisk middeltall for som den positive n’te-rota av produktet av dem: . Vi kan for eksempel tenke oss det som gjennomsnittssida i et rektangel med sidene a₁ og a₂, altså sidelengda i et kvadrat med samme areal. Dette fungerer naturligvis også for terninger og for høgere grader.

Harmonisk middeltall: Denne middelverdien gir oss tonerekka vår, og har sammenheng med invers, dvs. å sette et tall i nevneren i en brøk.

Gjennomsnittet av blir H etter formelen:

Hvis man skal bruke denne på toneskalaen vår, ser man interessante ting. Vi tar utgangspunkt i tonehøyde som antall svingninger pr. sekund, altså i hertz: Hz.

Det harmoniske gjennomsnittet av C₁ og C₂ er: