Matematikk på nett

2MX – 2006/7 - Kapittel 6 – 22. mars - 20. april
Integrasjon

I perioden 23. april til 28. mai skal vi ha økter: 5 økter gir oss muligheten til 2 eller 3 firetimersprøver i hele pensum!
Dette kapitlet bringer oss tilbake til funksjonene og til derivasjonskapitlet: 4.
Allerede i antikken hadde man formler for å regne ut arealer av alle figurer med rettlinja sider:
Rektangel: Inndeles i små kvadrater/ruter, telles opp, generaliseringer til formelen grunnlinje x høyde.
Parallellogram: Gjøres om til rektangel med litt tenkt klipping og formelen grunnlinje x høyde.
Trekant: Vises lett at er et halvt parallellogram.
Mangekanter generelt deles opp i trekanter. Arealene løses ved hjelp av trekantformlene. Litt verre var det med matematiske arealer avgrensa av krumme kurver:

Sirkel: Blei løst av egypterne, men alle de 4 elvekulturene eide en p-verdi: 8-kanten har omtrent samme areal som sirkelen:

Eudoxos (-300/400) og Arkimedes (-287 - -212) i Hellas regna også ut areal av sirkel. Arkimedes' metode brukte innskrevne og omskrevne mangekanter til sirkelen, og fant at ved å inn- og omskrive 96-kanten om en sirkel. Prinsippet hans blir med en 6-kant slik: Han starta med 6-kanten og halverte til 12-, 24-, 48- og 96-kanten:

Francois Viete (rundt) 1500 beregna π i en 12-kant slik, i en formel som kan utvides til enda større nøyaktighet:

I en n-kant skal 12-tallet skiftes ut med n og antall 2-tall skal være n-2. Lar vi n gå mot uendelig, finner vi p nøyaktig.

Parabelen og ellipsen fikk også sine formler av Arkimedes!

Med koordinatsystemet og derivasjonen fulgte helt andre verktøy til å beregne formler for funksjoner, stigningstall og arealer! Et klassisk eksempel refereres i læreboka: Når du skal sile – eller rulle ei kule - nedoverbakke fra ett punkt til et annet, hvilken bane er den raskeste? (Den korteste er naturligvis den rette linja, men den raskeste?)

Galilei resonnerte slik – uten derivasjon – i 1638: Han beregna tida fra A til B og fant at kula gikk raskere dersom den trilla langs de to linjestykkene AC fulgt av CB, hvor C ligger på en sirkelbue. Det er riktig at vi skal bruke en bue, men Galilei valgte en gal bue fordi han ikke kunne derivere – og integrere! (Kurva er ingen sirkel, men en kjent matematisk kurve som dukker opp i mange sammenhenger, dessverre(?) ikke i vårt pensum. Utgangspunktet for å løse den er å vite at farta til kula er proporsjonal med kvadratrota av høyden kula har falt. Og metoden for å finne fram, kalles integrasjon. Jacob Bernoulli brukte forresten også fysikeren Schnells brytningslover for lys for å løse oppgava. Kurva er en brakistokron.)

Kapitlet vi skal begynne på kalles integrasjon. Integrasjon blei brukt for å finne arealer under grafer eller mellom grafer, og metoden kan også brukes for å finne volumer av ganske mange legemer og lengde av funksjoner. Og så viser det seg at å integrere er nøyaktig det motsatte av å derivere!

Kladde-oppgaver kapittel 7	Innhold	Dato
7.1, 7.2	Areal under en graf: Enheten for svaret er enheten langs x-aksen ganger enheten langs y-aksen. Tilnærmingsverdi for arealet: Dette gjorde vi i 1. klasse 1MX med kalkulatoren! Metode 1) RUN-menyen: <OPTN> <CALC> Svaret du nå får er arealet mellom grafen og x-aksen, fra 0 til 6 på x-aksen. Metode 2) GRAPH-menyen: <V-Window>: , , scale: 1, , , scale:5 <EXIT> <DRAW> <G-SOLV> <F6> <F3> : Gå til x=0 <EXE> Gå til x=6 <EXE>, du får markert arealet og svaret!	23/3
	Innføringa til kapittel 6: 679, 692 og 697	22/3

7.3, 7.4	Det bestemte integralet: Vi tegner små rektangler mellom grafen og x-aksen, med bredde lik 1 på x-aksen. Hvis vi lager disse smalere og smalere, vil summen av dem bli mer og mer lik det arealet vi er ute etter. Vi vil finne grenseverdien for denne summen når rektanglene blir ørsmå, dvs. går mot null.	23/3
7.5, 7.6 7.7, 7.8, 7.9	Det ubestemte integralet: Vi er på jakt etter en formal for funksjonen som uttrykker en funksjon for arealet. Det viser seg at vi finner denne formelen, dette funksjonsuttrykket, ved å antiderivere! (Dette kalles ”matematikkens fundamentalteorem”.) Vi har noen derivasjonsregler som er enkle å snu, slik at vi får noen integrasjonsregler nærmest gratis: Generell setning: dersom	12/4
7.10 7.11, 7.12, 7.13 7.14 7.15 7.16, 7.17, 7.18 7.19	Bestemt integral ved antiderivering: der Areal som funksjon av x: Arealfunksjonen er den antideriverte til graffunksjonen! Men fordi den deriverte av en konstant alltid er lik null, vil vi ha uendelig mange løsninger som alle ender på ”+C” der C er en vilkårlig positiv eller negativ konstant. Føring ved utregning av bestemt integral: der Areal under x-aksen: Integraler over x-aksen er positive, integraler under er negative! Det betyr at vi må skifte fortegn for å finne arealene, da de alltid skal være positive. Vi kan naturligvis også si som generell regel at arealet er lik absoluttverdien til integralet. Areal delvis over og delvis under x-aksen: Når noe er over og noe under x-aksen, må vi integrere hver av bitene for seg og skifte fortegn på de bitene som er under x-aksen. Eventuelt kan vi sette absoluttverdien til hver av bitene. Areal mellom grafer: Når over intervallet , er arealet mellom grafene lik . Er vi usikker på hvilken som er øverst, men veit at de ikke krysser hverandre, kan vi bruke absoluttverdien:	13/4
	Prøve i kapittel 6	29/3
	Resten av kapitlet er uten oppgaver og uten nytt pensum. I stedet skal det tenkes og reflekteres over analytisk og numerisk metode: Å regne med symboler: Dvs. å regne med bokstaver som kan representere ulike tall. Numerisk og analytisk derivasjon: Numerisk derivasjon vil si å beregne momentan vekstfart med tangentmetoden eller tabellmetoden, som vi gikk gjennom i grunnkurset. Den analytiske derivasjonen vil si å finne den deriverte eksakt som grenseverdien til en brøk. Numerisk og analytisk integrasjon: Tilsvarende er numerisk integrasjon å finne areal under en graf ved hjelp av gjennomsnittsmetoden eller rektangelmetoden, som vi også var innom på grunnkurs. Når vi i stedet finner den antideriverte, oftest som eksakte svar, finner vi en analytisk løsning. Hva med lommeregneren? Lommeregneren bruker en numerisk metode, både ved derivasjon og integrasjon. Av og til ser svarene eksakte ut, men de er det egentlig ikke.	13/4
	Utviklingen av differensial- og integralregningen: Kapitlet er ei historisk gjennomgang av viktige oppdagelser innafor differensial- og integralregninga, med henvisning til sentrale matematikere. René Descartes (1596-1650) – fransk filosof og matematiker som fant opp koordinatsystemet (1637). Isaac Newton (1642-1727) – engelsk fysiker og matematiker som fant opp differensial- og integralregning (publisert 1687). Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) – tysk jurist, diplomat og matematiker som fant opp differensial- og integralregning (1684). Augustin Louis Cauchy (1789-1857) – fransk matematiker som innførte grensebegrepet (1800-tallet)	13/4
	Innføring fra kapittel 7: 750, 757a, 779		13/4
	Forberedelse til prøve i kapitlet		19/4
	Prøve i kapittel 7		20/4

”Rett eller galt?” er en god test på om dere har forstått kapitlet – se side 130: *Fasit for kapitel 7, side130: GRRRGRGGRGGRGGRGRGRRGGGGG*
	Har du nådd målene for dette kapitlet?	Ja/Nei
	ü *Klarer du å finne arealet under en graf med kalkulatoren?* ü *Klarer du å lage små rektangler som nesten fyller ut arealet under en krum graf?* ü *Klarer du å beregne cirka-areal med firkantene og få noe i nærheten av integralet på kalkulatoren?* ü *Veit du hva antiderivert er?* ü *Klarer du å bruke antiderivertformlene under ”Noen integraler” på sidde 283?* ü *Klarer du å finne et bestemt integral når du kjenner den antideriverte, det ubestemte integralet?* ü *Veit du hva du kan vente deg når du integrerer grafer som er under x-aksen?* ü *Veit du hva du må gjøre når grafen er både over og under x-aksen?* ü *Klarer du å finne eksakte arealer der kalkulatoren bare finner tilnærma?* ü *Kjenner du navnene til en del viktige matematikere som integrerte og deriverte?* ü *Synes du matematikk er spennende?* Ja, da har du nådd målene i dette kapitlet!

Spesielle problemer: Lengden D av en grafe mellom x-verdiene a og b har formelen: .

Prøv å regne ut lengden av noen grafer – det dukker fort opp noen integrasjonsproblemer!

Tommy og Tigern (Calvin and Hobbes):

T&T bind 3 side 167n

Innhold

Dato