Matematikk på nett

2MX – 2006/7 - Kapittel 6 – 12. februar - 22. mars
Vektorregning

Innhold	Dato
Innføring fra oppgavesamlinga: 537, 553, 554, 555, 566 Frivillig: 570	12/2
Prøve i kapittel 5: Fem flotte oppgaver som dekker hele kapitlet! Mye tekst, litt regning…	22/2

Dette kapitlet er meget spesielt og annerledes enn den matematikken dere har vært borti tidligere. Lenge så matematikere på vektorregning som noe simpelt som ikke var en matematiker verdig, dette var stoff for fysikerne, de som beskjeftiget seg med ”virkeligheten” og ikke idealene. Vektorregninga vokste fram fra fysikken, og er i dag en anerkjent del av matematikken, sjøl om regnemetodene er relativ enkel geometri. Vektorregninga springer utfra ei analyse av krefter: Ei kraft har en verdi (et tall med benevninga N, newton) og ei retning. Det nye og rare for matematikere er at ei linje med lengde 5 cm er lik alle andre linjer som ligger parallelt med en spiss i samme ende og som er 5 cm lang!

Vektorer er altså størrelser som både har lengde (absoluttverdi) og retning. ”AB-vektor” har spissen i B og AB er et rett linjestykke fra punktet A til punktet B. Vektoren kan ligge på et blankt ark, eller være lagt inn i et koordinatsystem. Ulike vektorer danner ulike vinkler med hverandre, og både sinus og cosinus til disse vinklene er viktige i vektorregninga. To vektorer er like når både lengde og retning er like, uansett om vektorene ligger på ulike steder. Absoluttverdien til en vektor er lik lengden av vektoren. Og vinkelen mellom to vektorer er alltid den minste av de to vinklene som dannes av de to vektorene. For å måle vinkelen mellom vektorene, må vi ofte parallellforskyve den ene av de to vektorene slik at de begynner samme sted.

Kladde-oppgaver kapittel 6	Innhold	Dato
6.1, 6.2	Når 25N + 25N = 25N: Eller enda verre: 25N + 25N + 25N = 0N. Dette strider åpenbart mot ordinær matematikk og tallregning, men kan godt være riktig når retninga på disse størrelsene er ulike. Hittil har all matematikk hatt samme ”retning”: 25 kr + 25 kr = 50 kr. Eller motsatt ”retning”: 25 kr + (-25) kr = 0 kr. Eller de har hatt forskjelling benevning: 25 bananer + 25 appelsiner = 25 bananer + 25 appelsiner (og ikke fruktkompott)	12/2
6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7	Vektorer: En vektor har både lengde og retning. Når to vektorer har samme retning (ligger parallelt) og er like lange, er de like. Når to vektorer og er motsatte med samme lengde, har vi: eller Lengden av en vektor er absoluttverdien av en vektor, og kan måles. Den skrives slik: Når to vektorer og er parallelle, uansett om retninga er lik eller motsatt, kan vi alltid skrive: der k er en positiv eller negativ konstant. En vektor multiplisert med en konstant k er en ny vektor med samme eller motsatt retning av den opprinnelige, og k ganger så lang. Er k positiv, har de samme retning, ellers motsatt. Vinkelen mellom to vektorer måles i grader og er alltid den minste vi kan finne, altså i intervallet	15/2

6.8, 6.9, 6.10, 6.11, 6.12, 6.13

Vi adderer vektorer: Å summere to vektorer vil si å parallellforskyve den ene slik at den starter der den andre slutter. Summen vil være vektoren mellom starten på den ene og spissen på den andre vektoren. Summen blir altså en ny vektor! Kommer vi tilbake til utgangspunktet, er summen lik nullvektoren:

16/2

6.14, 6.15, 6.16

Å trekke fra en vektor: Vi subtraherer to vektorer ved å legge til den motsatte vektoren.

23/2

6.17, 6.18

Dekomponering av vektorer: Å dekomponere en vektor vil si å dele opp en vektor i to andre med ulik retning. Ofte legger vi disse to langs x- og y-aksene i et koordinatsystem. De to komponentene får begge lengder som er mindre enn originalen, og beregna ved hjelp av cosinus til vinklene mellom vektoren og retninga den skal dekomponeres langs!

26/2

6.19, 6.20, 6.21, 6.22, 6.23

Skalarprodukt: Skalarprodukt av to vektorer gir en konstant etter formelen: og: . Når et skalarprodukt mellom to vektorer er lik null, er de normale! Skalarprodukt er ikke et vanlig produkt, men av og til kan vi tenke vanlig produkt: og lignende. Spesielt er skalarproduktet nyttig i forhold til arbeid! Og ved bruk av vektorer får vi med kraftas retning i forhold til vegens retning!

1/3

6.24, 6.25, 6.26, 6.27, 6.28, 6.29, 6.30

Vektorkoordinater: Ethvert punkt har koordinater, som vanlig og skrevet i vanlige koordinatparenteser med komma! En vektor i koordinatsystemet skrives med koordinater i hakeparenteser! En vektor fra origo til ett punkt får enkelt og greit punktets koordinater i hakeparentes. Merk dere bruk av enhetsvektorene langs x- og y-aksene, side 227!

2/3

6.31, 6.32, 6.33, 6.34, 6.35, 6.36, 6.37

Regneregler for vektorkoordinater: Formlene er enkle.

Addisjon:

Like vektorer: Når så er og

Parallelle vektorer: Når så er , der k er en konstant.

12/3

6.38, 6.39, 6.40, 6.41, 6.42, 6.43

Skalarprodukt på koordinatform:

Skalarproduktet:

Lengden av en vektor:

Avstandsformelen:

Vinkel mellom vektorer:

15/3

6.44, 6.45, 6.46, 6.47, 6.48, 6.49

Ortogonale vektorer: Ortogonal betyr rett og slett vinkelrett på hverandre! Og for å undersøke ortogonalitet, undersøker vi rett og slett om skalarproduktet er lik null! Da og bare da er vektorene ortogonale (normale).

15/3

6.50, 6.51, 6.52, 6.53, 6.54, 6.55

Parameterframstilling: Vi er vant til likningsframstilling av grafer. Det fins en annen måte å framstille dem på: I stedet for å se på en direkte sammenheng mellom x og y, kan vi uttrykke hver av de variablene ved hjelp av en tredje, t, som vi lar løpe gjennom ”alle” mulige verdier. Ei kurve s kan beskrives slik: Vi får dette på likningsform ved å finne t av førstegradsuttrykket, uttrykt ved x og sette inn dette i andregradsuttrykket: Derved er t elliminert og vi har sammenhengen mellom x og y:

På kalkulator: (Casio) GRAPH – TYPE – PARM – T Xt1=t+2 Yt1=0,5t²-3
V-WINDOW– T,q - -4 for min og 4 for max, 1 for pitch – EXE - DRAW

16/3

6.56, 6.57, 6.58, 6.59, 6.60

Regning med parametre:
Retningsvektor for rett linje: [x:tallet foran t, y: tallet foran t]
Skjæring med aksene: x-aksen: y=0. y-aksen: x=0
Skjæring mellom linjer: x=x. Finn t og regn ut x og y. (Setter du y=y, skal du få samme t-verdi, ellers er det ikke skjæring. Husk å kontrollere.) Samme teknikk bruker du mellom andre kurver enn rette linjer, og du kan naturligvis får flere skjæringspunkt.
Sirkel med radius r:

(Hvis du setter ulike tall foran sinus og cosinus, får du ellipser.)
Parameteren står for tid: Å bruke parameteren til tid er nyttig, spesielt i fysiske problemstillinger!

22/3

Innføring fra kapittel 6: 679, 692, 697

22/3

Prøve i kapittel 6!

29/3

”Rett eller galt?” er en god test på om dere har forstått kapitlet – se side 112: Fasit for kapitel 6, side112: GRGGGGRGGRRRRGGGRGGGGRGRR
	Har du nådd målene for dette kapitlet?	Ja/Nei
	ü Klarer du å legge sammen og trekke fra hverandre vektorer ved tegning? ü Ser du hva det vil si å multiplisere en vektor med en skalar, et tall? ü Veit du hva nullvektoren er? ü Klarer du å dekomponere vektorer? ü Kan du formelen for et skalarprodukt? ü Kan du finne vinkelen mellom to vektorer? ü Kan du regne med vektorkoordinater? ü Kan du finne en retningsvektor? ü Kan du regnereglene for vektorkoordinater? Legge sammen vektorer? Trekke dem fra hverandre? ü Veit du når to vektorer er parallelle? ü Kan du finne lengden på en vektor? ü Veit du når to vektorer er normale? ü Kan du lage en parameterframstilling for en vektor? ü Kan du bruke parameterframstillinga for å finne ut vinkler, lengder, skjæringer? Ja, da har du nådd målene i dette kapitlet!

Spesielle problemer:

I Illustrert vitenskap 2/2002 fins det en ekspertnøtt på side 78. Prøv den: Tegn en sirkel og deretter en sirkel til med sentrum på den første sirkelens omkrets. Der de to sirklene skjærer hverandre, setter vi sentrum i en tredje sirkel med samme radius. Hvor stort er arealet av den buede
trekanten i midten når alle sirklene har radius 1?

Tommy og Tigern (Calvin and Hobbes):

T & T bind 3 side 165n

Innhold

Dato

Innhold

Dato