Samleoppgavene fra 1MX: Gjør dem som repetisjon!
5.A)Figuren viser et lykkehjul. Du snurrer lykkehjulet og ser hvilken farge det stopper på. (Fargerekkeføgen fra topppen med klokka er svart, hvit, blå, oransje, grønn, gul og rød.)
a) Hvilke utfall har dette forsøket, og hva blir utfallsrommet?
b) Skriv opp en sannsynlighetsmodell for forsøket.
c) Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på gul, rød eller oransje?
d) Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet ikke stopper på blå eller grønn?

5.B) I lotteriet til idrettslaget Koll er det solgt 1250 lodd. Førstepremien er et videokamera. Eldrid har kjøpt 15 lodd. Hva er sann­synligheten for at hun:
a) Vinner videokameraet
b) Ikke vinner videokameraet
Andrepremien i lotteriet er et fotoapparat. Vinneren av andrepremien trekkes ut etter vinneren av førstepremien. Hva er sannsynligheten for at Eldrid:
c) Vinner bade videokameraet og fotoapparatet
d) Vinner videokameraet, men ikke fotoapparatet

5.C) En gruppe pa 20 elever skal til utlandet. Ti elever har tysk som fag, og ni har fransk. Tre elever har både tysk og fransk. En elev trekkes ut tilfeldig for å være reiseleder. Hva er sannsynligheten for at reiselederen har:
a) Både tysk og fransk
b) Minst ett av fagene tysk og fransk
c) Ingen av fagene tysk og fransk

5.D) En familie har to barn som ikke er tvillinger.
a) Hva er sannsynligheten for at begge barna er gutter?
b) Hva er sannsynligheten for at den eldste er en jente og den yngste en gutt?
c) Hva er sannsynligheten for at det er en guff og en jente?

5.E) Du stokker en kortstokk godt og ser pa de tre øverste kortene. Hva er sannsynligheten for at:
a) Alle kortene er kløverkort
b) Ingen av kortene er kløverkort
c) Det øverste kortet er et kløverkort og de to andre er sparkort
d) Det er ett kløverkort og to sparkort

(Fasit: 5A: a: rød, blå, svart, hvit, oransje, grønn og gul U={rød, blå, svart, hvit, oransje, grønn, gul} b: P(rød)=P(blå)=1/4=25% P(svart)=P(hvit)=1/8=12,5% P(oransje)=P(grønn)=P(gul)=1/12=8,33% c: 5/12=4,17% d: 2/3=66,67% 5B: a: 0,012 b: 0,988 c: 0,00013 d: 0,0119 5C: a: 3/20=6% b: 4/5=80% c: 1/5=20% 5D: a: 0,264 b: 0,250 c: 0,500 5E: a: 0,013 b: 0,414 c: 0,015 d: 0,046)

”Rett eller galt?” er en god test på om dere har forstått kapitlet – se side 93:

Fasit for kapitel 5, side 93: RRGGGGRGRGGGGRGGRRGRGGRRR

Oppgave 6: Påstanden skal være: ”Hvis , er ”

Spesielle problemer: Dere kjenner alle reglene for Yatzy? Prøv å finne ut sannsynlighetene for å lykkes når dere i 1. kast har
fått 1 – 3 – 3 – 5 – 6 på terningene. Dere har to kast til og skal få minst 3 enere, toere, treere, firere, femmere og seksere
for å få bonus, dere skal få ett par, to par, 3 like, 4 like, 5 like, liten straight, stor straight og hus, og over 20 på sjanse.
(Dette er en analyseoppgave uten skikkelige fasitsvar, men illustrerer litt om hvordan en bør tenke for å lykkes best mulig i spill.)

The Monty Hall Problem: http://math.ucsd.edu/~anistat/chi-an/MonteHallParadox.html

Tommy og Tigern (Calvin and Hobbes):

Bind 3, side 165ø

Begreper: Tilfeldige forsøk, sannsynlighet, utfall, utfallsrom, sannsynlighetsmodell, hendelser, gunstige utfall, mulige utfall, uniform modell, komplementære hendelser, addisjonssetninga, disjunkte hendelser.

Betinget sannsynlighet:  leses som ”den betingete sannsynligheten for B gitt A”, dvs. gitt at A allerede har inntruffet.  gjelder naturligvis også.
Uavhengige hendelser: Eksempel: Sannsynligheten for å være fargeblind er større hos gutter enn hos jenter: Fargeblindhet og kjønn er altså avhengige hendelser. Men sannsynligheten for å kaste en 6er etter å ha kasta en 6er, er like stor som om du hadde kasta en 3er først, dvs. uavhengige hendelser. Hvis  er A og B uavhengige hendelser. Tilsvarende hvis  er A og B avhengige hendelser.

Produktsetninga: Ei omforming av setninga for betinget sannsynlighet fører til:  når A og B er avhengige hendelser, og   når A og B er uavhengige hendelser; den siste gjelder også for 3 eller enda flere hendelser.

Total sannsynlighet:
Bayes’ setning:

Kombinatorikk: Kombinatorikken gir oss løsninger på hvor mange muligheter som fins, ofte gir det oss svar på ”mulige utfall”, dvs. nevneren  vi trenger for å finne sannsynligheten! Antall rekker på en tippekupong er 3¹²=531441. En lottokupong har 5379616 ulike rekker med 7 vinnertall. Hvorfor? Hvor mange ulike korthender med 13 kort kan du få utdelt? Hvor mange ulike norske bilnummer kan vi lage? Osv.

·         Ordnet utvalg med tilbakelegging: Fra en mengde med n elementer kan vi lage  ordnede utvalg på r elementer når utvelginga skjer med tilbakelegging.

·         Ordnet utvalg uten tilbakelegging: Fra en mengde med n elementer kan vi lage  ordnede utvalg på r elementer når utvelginga skjer uten tilbakelegging.

·         Ordning av n elementer: n elementer kan ordnes i rekkefølge på  ulike måter, som leses ”n fakultet”.
Kalkulator:
17! blir: 17 <OPTN> <F6> <PROB> <x!> <EXE>
 skrives som _nP_r av kalkulatoren, slik at:
 : 10 <OPTN> <F6> <PROB> <nPr> 5 <EXE>

·         Uordnet utvalg uten tilbakelegging: Fra en mengde med n elementer kan vi lage  uordnede utvalg på r elementer når utvelginga skjer uten tilbakelegging.
Kalkulator:
skrives som _nC_r av kalkulatoren, slik at:  : 34 <OPTN> <F6> <PROB> <nCr> 7 <EXE>

·         Hypergeometriske sannsynligheter: En mengde med n elementer kan deles inn i 2 delmengder D og . Det er m elementer i D og n-m i . Vi trekker tilfeldig r elementer fra mengden uten tilbakelegging.
Da er P(k elementer fra D)=. Setninga gjelder også for flere enn 2 delmengder!

·        Binomiske sannsynligheter: Vi gjør n uavhengige forsøk. I hvert forsøk er sannsynligheten p for at en hendelse S skal inntreffe og 1-p for at den ikke skal inntreffe.
Da er P(S inntreffer k ganger)= .