Matematikk på nett

2MX – 2006/7 - Kapittel 4 – 23. november - 5. januar Derivasjon
Plan for skoleåret 2006/2007: Kapittel 5: 8/1 – 31/1. Kapittel 6: 5/2 – 7/3. Kapittel 7: 12/3 – 12/4. Repetisjon, prøver, muntlig: 16/4 – 16/5. Økter, diverse arbeid: 21/5 – 20/6. Kapitlet Derivasjon varsler en overgang til et arbeid som bringer matematikken opp på et høyere plan! Dere skal lære om grenser, det uendelig lille og om tilnærminger som til slutt – etter at vi kan se dem lenger – blir korrekte! Allerede grekerne, lenge før år null, var opptatt av stigning og stigningstall. Og foreløpig er det den greske matematikken vi har arbeda med. Forutsetninga for å gå videre, var faktisk at koordinatsystemet blei funnet opp. Før koordinatsystemet, visste man om matematiske kurver og grafer, men man definerte sirkelen som ”det geometriske sted for de punktene som alle ligger like langt fra et gitt punkt”. Tilsvarende hadde man andre grafer. Med René Descartes (1596-1650) blei (det kartesiske) koordinatsystemet funnet opp, og kurver kunne defineres som sammenhengen mellom to variable, for eksempel x og y. Pierre de Fermat (1601-1665) publiserte ikke noe, men var en viktig brevskriver i forbindelse med bl.a å finne toppunkt til kurver, mens Isaac Newton (1642-1727) og Gottfried W. Leibniz (1646-1716) grunnla derivasjonen, differensialregninga og den vidunderlige matematiske verden som åpnes seg.
	Pensum i 2MX ender med begrepet integrasjon, som er en direkte – om enn motsatt – konsekvens av derivasjonen. Poenget med derivasjon er å kunne si vesentlige ting om en grafe og grafens spennende punkter uten å være nødt til å gjette seg til koordinatene til disse punktene. Skjæring med aksene har dere allerede lært å finne, uten derivasjon. Det som nå kommer, er hvordan vi skal finne topp- og bunn-punkter, punkter med størst eller minst stigning, terrassepunkter eller punkter som har en spesiell stigning. Begrepet krumning vil også være interessant! Den viktigste figuren er den til venstre, der den deriverte for f i B er gitt ved formelen:

Kladde-oppgaver kapittel 4			Innhold		Dato
4.1, 4.2, 4.3, 4.4			Tilbakeblikk: Stigningstall for krum kurve! Gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter på en grafe: Trekk ei linje mellom de to punktene, la den være hypotenusen i en rettvinkla trekant med kateter parallelle med aksene og regn ut stigningstallet for linja, dvs. tangens til vinkelen mellom hypotenusen og x-aksen. Momentan vekstfart i ett punkt: Trekk tangenten til grafen i punktet, la den være en hypotenus i en tilsvarende trekant, velg størrelse sjøl, og regn ut som ovafor.		23/11
4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9			Grenseverdi og kontinuitet: Hva skjer med grafer når vi nærmer oss spesielle steder ovafra og nedafra? x nærmer seg null nedafra: Hvis vi setter inn x-verdier rett til venstre for 0, ser vi det! x nærmer seg null ovafra: Hvis vi setter inn x-verdier rett til høyre for 0, ser vi det! Trass i at funksjonen ikke ser bra ut for x=0, ser vi at det ikke er noe hull, dvs. at den henger sammen, er kontinuerlig! NB: Lommeregneren og side 122!		30/11
Prøve, kapittel 3					1/12
4.10, 4.11, 4.12, 4.13			Den deriverte: Hvis vi skal finne stigninga i ett punkt, momentan stigning, tenker vi oss at vi lager en liten trekant mot høyre og lar den krympe mot å bli ”uendelig liten”. Grafens stigning er da lik tangens til vinkelen i nedre, venstre hjørne! Det er den deriverte til grafen i dette spesielle punktet. Når den deriverte er positiv, har vi positiv stigning, dvs. oppoverbakke, negativ derivert gir nedoverbakke og der den deriverte er null, har vi ikke stigning, dvs. topp- eller bunnpunkt.		4/12
4.14, 4.15, 4.16			Derivasjon av flerledda uttrykk: Heldigvis er mange regneregler sjølsagte og enkle. 1) Vi kan derivere ledd for ledd: 2) Potensregelen er litt verre: (r er en konstant) Fortegnslinja til funksjonen: Den forteller oss hvor grafen er over og under x-aksen. Fortegnslinja til den deriverte av funksjonen: Den forteller oss hvor grafen går opp (+) eller ned (–) eller hvor den er vannrett (0), dvs. har topp-, bunn- eller terrassepunkter.		7/12

4.17, 4.18, 4.19			Den deriverte ved drøfting av funksjoner: Ved hjelp av fortegnet til den deriverte av funksjonen får vi et ganske godt bilde av hvordan grafen går i koordinatsystemet! Vi kan lese av toppunkter, der den deriverte er 0 men går fra + til –, bunnpunkter der den deriverte er 0 men går fra – til +.		8/12
4.20, 4.21, 4.22, 4.23, 4.24, 4.25, 4.26, 4.27			Noen praktiske tolkninger av den deriverte: a) Fra økonomiske fag kan vi derivere kostnadsfunksjon og finne grensekostnad, dvs. hva det vil koste å øke produksjonen med én enhet, inntektsfunksjon og finne grenseinntekt, tilsvarende inntekt når omsetninga økes med enhet. NB: Lommeregneren og side 142! b) I fysikken finner vi hastighet når vi deriverer veglengde-funksjonen og aksellerasjon når vi deriverer hastighetsfunksjonen, dvs. deriverer én gang til! NB: Lommeregneren og side 145!		14/12
4.28, 4.29, 4.30, 4.31			Den andrederiverte og krumning av kurver: Hvis vi deriverer en funksjon to ganger, får vi endring i stigning, dvs. krumning på grafen. Når den dobbeltderiverte er negativ, er den hule sida nedover, og vi kan ha et toppunkt. Når den dobbeltderiverte er positiv, er den hule sida opp, og vi kan ha et bunnpunkt. Når den dobbeltderiverte er 0, har vi ingen krumning: Den hule sida går fra å vende opp til å vende ned, et vendepunkt. I et vendepunkt svinger grafen plutselig motsatt veg. NB: Lommeregneren og side 157-158!		15/12
4.32, 4.33, 4.34, 4.35, 4.36, 4.37, 4.38, 4.39			Den deriverte av et produkt, en brøk og sammensatte funksjoner: 3) Produktregelen er ikke enkel: 4) Brøkregelen er vikig og stygg: 5) Kjerneregelen ser verre ut enn den er: , der u er en funksjon av x.		4/1
4.40, 4.41, 4.42, 4.43, 4.44, 4.45			Den deriverte av e^x og lnx: 6) 7) 8)		5/1
Det fins derivasjonsregler for sinx og cosx og tanx også, og de er enkle. Og med dem på plass, kan dere i grunnen derivere alt som fins av funksjoner! (Ikke pensum i år.) 9) 10) 11)
		”Rett eller galt?” er en god test på om dere har forstått kapitlet – se side 31: Fasit For kapittel 4, side 71:RRRGRRRGRGRRRGGRRGRRGRGRG(Den har ingen.)

		467, 482		Innføring: Bruk penn; tegninger og grafer kan gjøres med blyant.			5/1
	Har du nådd målene for dette kapitlet?					Ja/Nei
	ü Hva er vekstfart, stigningstall? ü Forstår du begrepet gjennomsnittlig vekstfart? ü Hvordan kan vi finne et tilnærma stigningstall for en krum kurve? ü Hva er momentan vekstfart? ü Hva vil det si at noe ”går mot” en verdi? ü Forstår du begrepet grense? ü Hva er kontinuitet? ü Hvordan ser en diskontinuerlig kurve ut? ü Hvorfor kan vi ikke legge en tangent på et sted der grafen er diskontinuerlig? ü Hva er ideen bak den deriverte? ü Hva forteller fortegnslinja til den deriverte? ü Og til den dobbeltderiverte? ü Hva kan vi finne ut når vi undersøker en funksjon med fortegnslinjer og derivasjon? ü Hvilke praktiske sammenhenger kan vi finne med den deriverte? ü Hvordan kan vi derivere med kalkulatoren? ü Hva forteller den dobbeltderiverte? ü Hvilke derivasjonsregler kjenner du? ü Fins det uttrykk du ikke skal kunne derivere? Ja, da har du nådd målene i dette kapitlet!
2-times prøve i kapittel 4					11/1

Innhold

Dato