|
Du er besøkende nr.
(Teller nullstilt 23. august 2007)
|
| |
|
Sist endra: mandag, 20. august 2007 14:56:54
-
Hans Isdahl
|
2MX – 2006/7 - Kapittel 2 – 15. september - 12. oktober 2006
Eksponentialfunksjoner og logaritmer
e
er et av de viktige tallene innafor matematikk. Det har en like viktig plass som
π
og som de hele tallene.
e
er grunntallet for de
naturlige logaritmene og brukes i vekstfunksjoner som vekst i populasjoner
f.eks. Funksjonen
ex er den funksjonen som har seg sjøl
som derivert: Det betyr at stigningsgraden til
ex
oppfører seg akkurat slik som funksjonen sjøl. I de fleste tilfellene der vi
bruker e,
gjør vi som med π
og bruker bare 2 desimaler:  .
|
Definisjonen på
e
er slik: |
|
|
|
Eller slik: |
|
som kan tolkes slik at arealet fra 1 til
e
under kurva 1/x er 1. |
|
MacLaurin-uvikling som ei uendelig rekke: |
|
 osv. |
|
Leonard Euler fant en merkelig sammenheng: |
 |
der
i
er det komplekse tallet  |
e med
1000
desimaler blir: |
2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382
17852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076
32338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774
11853742345442437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297606737
11320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505
69536967707854499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082
69895193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117301238197068416140397
01983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099618188159
30416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796104841984443634632449
68487560233624827041978623209002160990235304369941849146314093431738143640546253152096183
69088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574770417189861068739696
5521267154688957035035… |
|
Det kan være morsomt å sette inn store tall i formlene ovafor og se om
vi kommer i nærheten av 2,72…
På nettet fins det mange sider om e. Denne er
skikkelig. Her finner dere
en million siffer. 1 million siffer fyller en
tekstfil med
A4-sider der linja har 80 tegn/siffer, det er 61 linjer pr. side, og
antall sider blir 205! Og enda jaktes det på flere siffer…
Logaritmetabell fins også på nettet! |
Litt logaritmehistorie:
http://www.pballew.net/arithme1.html:
Logarithm
is the combination of two
Greek roots, Logos(reason or ratio) + artihmus(number).
The ratio refers to the
original method of constructing logarithms by geometric sequences. The
name
was introduced by
John Napier
(1550-1617), the inventor of logarithms, in his
1614 work on logarithms, Mirifici logarithmorum canonis
descriptio,
[Description of the wonderful canon of logarithms .... but it is
usually called
"The Descripto"]. It was originally written in Latin and subsequently
translated
into English.
|
|
| Kladd
kapittel 2 |
Innhold: Eksponentialfunksjoner og logaritmer |
Dato |
|
2.1, 2.2, 2.3,
2.4 |
Regning med
potenser: Regnereglene er enkle.
 |
15/9
|
|
Prøve i kapittel
1! |
21/9 |
|
2.5, 2.6, 2.7,
2.8, 2.9, 2.10, 2.11 |
Eksponentiell
vekst:
På grunnkurset
innførte vi vekstformelen:
der K0
øker med
p prosent i tidsrommet
x der både
p og
x kan være negativ og være desimaltall. |
22/9 |
|
2.12, 2.13, 2.14,
2.15, 2.16, 2.17, 2.18, 2.19, 2.20 |
10 som grunntall
- briggske logaritmer: Logaritmen til et tall er lik det tallet du må
opphøye 10 i for å få tallet. (Dette gjelder når vi bruker grunntallet 10,
funnet opp av Henry Briggs og kalt briggske logaritmer.)
En logaritmisk skala brukes når en funksjon stiger eller faller svært raskt.
Både pH-verdi
og Richters skala
er logaritmiske! |
28/9 |
|
2.21, 2.22, 2.23,
2.24, 2.25, 2.26, 2.27 |
e
som grunntall
- naturlige logaritmer: Vi bruker ofte 2,71828... som grunntall!
Alle eksponentialfunksjoner kan omformes til en eksponentialfunksjon med
e som
grunntall:  |
29/9
|
|
2.28, 2.29, 2.30,
2.31, 2.32, 2.33, 2.34, 2.35 |
Noen
setninger om logaritmer: Det er ikke mange logaritmesetninger, og de
følger bare de vanlige potenssetningene:
|
5/10 |
|
2.36, 2.37, 2.38,
2.39, 2.40, 2.41, 2.42 |
Logaritmisk
skala: Se på tidsskalaen på side 67, så ser du raskt hvorfor logaritmisk
skala er en fin oppfinnelse! |
6/10 |
|
2.43, 2.44 |
Logaritmer og
regresjon:
En eksponentialfunksjon er svært bratt, spesielt etter en stund. Hvis vi
lurer på om en funksjon er eksponentiell, kan vi undersøke logaritmen til
funksjonen: Den skal i så fall være ei rett linje! |
9/10 |
|
2.45, 2.46, 2.47 |
Våre logaritmiske
sanser:
Sansene våre virker i mange tilfelle logaritmisk. Ørene våre er svært
fininnstilte når det gjelder lave lyder. Men variasjoner i høg lyd,
oppfatter vi ikke så lett. |
12/10 |
|
”Rett
eller galt?” er en god test på om dere har forstått kapitlet – se side 31:
Fasit for kapitel 1, side 12: GGRGRRGRGGRGGGRGGRGRRGGRR
Fasit For kapittel 2, side 31: RGRGGGRGRGRGRRRGGRGRGGGRR |
|
204h, 207b, 279d,
280f, 282 |
Innføring - enten
på ark eller i egen bok: Bruk penn; tegninger og grafer kan gjøres med
blyant. |
13/10 |
| Har du nådd
målene for dette kapitlet? |
Ja/Nei |
|
ü
Kan du
regnereglene for potens?
ü Veit
du hva eksponenten null betyr?
ü
Og
negativ eksponent?
ü
Og
brøkeksponent?
ü
Skjønner
du begrepet eksponentiell vekst og klarer du å finne prosentvis økning?
ü
Hva er
logaritmer og hvilke regneregler bruker vi for logaritmer?
ü
Hva er
tallet
e?
ü
Hvorfor
bruker vi logaritmisk skala i et koordinatsystem?
ü
Kan du
bruke regresjon på kalkulatoren?
Ja, da har du nådd målene i dette kapitlet! |
|
|
Prøve i kapittel
2 |
19/10 |
Tommy & Tigern
Bind 2 – side 112m
|
Nedafor er en logaritmetabell. Før kalkulatorens tid
benytta man logaritmer for å gane sammen og dividere tunge uttrykk. Svara man
fikk, var tilnærma. Ideen var at hvis man regna med logaritmer, ville
ganestykker bli addisjonsstykker og delestykker bli subtraksjonsstykker.
Potenser b lei som å gange og røtter som å dele.
Eksempel: 2 ganger 3: Finn 2 og 3. lg 2 = 0,3010, lg 3 =
0,4771. 2 ganger 3 vil si lg 2 + lg 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781. Leiter du i
tabellen etter 0,7781, finner du 6,0. Bravo! Tabellen nøyer seg med små tall. Vi
må gjøre om talla til standardform og legge til antall 10ere: lg 20 = lg (2
ganger 10) = lg 2 + lg 10 = lg 2 +1 = 1,3010. I tillegg går det an å tilnærme
tall som ikke står i tabellen: lg 7,0095 er omtrent (!) midt mellom lg 7,09 og
lg 7,10, midt mellom 0,8506462 og 0,8512583: lg 7,095 = 0,85095. lg 7,0092 er
1/5 av vegen mellom lg 7,09 og lg 7,10, dvs. 0,85247 osv.
Tilsvarende tall finner vi igjen på regnestaver, og hele ideen
med regnestaven er å legge sammen logaritmer - eller lengder på to linjaler -
når vi ganger.
Kalkulatoren er i grunnen ganske praktisk.
|
| 1.000 |
0.00000000 |
|
|
2.00 |
0.3010300 |
3.00 |
0.4771213 |
4.00 |
0.6020600 |
5.00 |
0.6989700 |
6.00 |
0.7781513 |
7.00 |
0.8450980 |
8.00 |
0.9030900 |
9.00 |
0.9542425 |
| 1.001 |
0.00043408 |
|
|
2.01 |
0.3031961 |
3.01 |
0.4785665 |
4.01 |
0.6031444 |
5.01 |
0.6998377 |
6.01 |
0.7788745 |
7.01 |
0.8457180 |
8.01 |
0.9036325 |
9.01 |
0.9547248 |
| 1.002 |
0.00086772 |
|
|
2.02 |
0.3053514 |
3.02 |
0.4800069 |
4.02 |
0.6042261 |
5.02 |
0.7007037 |
6.02 |
0.7795965 |
7.02 |
0.8463371 |
8.02 |
0.9041744 |
9.02 |
0.9552065 |
| 1.003 |
0.00130093 |
|
|
2.03 |
0.3074960 |
3.03 |
0.4814426 |
4.03 |
0.6053050 |
5.03 |
0.7015680 |
6.03 |
0.7803173 |
7.03 |
0.8469553 |
8.03 |
0.9047155 |
9.03 |
0.9556878 |
| 1.004 |
0.00173371 |
|
|
2.04 |
0.3096302 |
3.04 |
0.4828736 |
4.04 |
0.6063814 |
5.04 |
0.7024305 |
6.04 |
0.7810369 |
7.04 |
0.8475727 |
8.04 |
0.9052560 |
9.04 |
0.9561684 |
| 1.005 |
0.00216606 |
|
|
2.05 |
0.3117539 |
3.05 |
0.4842998 |
4.05 |
0.6074550 |
5.05 |
0.7032914 |
6.05 |
0.7817554 |
7.05 |
0.8481891 |
8.05 |
0.9057959 |
9.05 |
0.9566486 |
| 1.006 |
0.00259798 |
|
|
2.06 |
0.3138672 |
3.06 |
0.4857214 |
4.06 |
0.6085260 |
5.06 |
0.7041505 |
6.06 |
0.7824726 |
7.06 |
0.8488047 |
8.06 |
0.9063350 |
9.06 |
0.9571282 |
| 1.007 |
0.00302947 |
|
|
2.07 |
0.3159703 |
3.07 |
0.4871384 |
4.07 |
0.6095944 |
5.07 |
0.7050080 |
6.07 |
0.7831887 |
7.07 |
0.8494194 |
8.07 |
0.9068735 |
9.07 |
0.9576073 |
| 1.008 |
0.00346053 |
|
|
2.08 |
0.3180633 |
3.08 |
0.4885507 |
4.08 |
0.6106602 |
5.08 |
0.7058637 |
6.08 |
0.7839036 |
7.08 |
0.8500333 |
8.08 |
0.9074114 |
9.08 |
0.9580858 |
| 1.009 |
0.00389117 |
|
|
2.09 |
0.3201463 |
3.09 |
0.4899585 |
4.09 |
0.6117233 |
5.09 |
0.7067178 |
6.09 |
0.7846173 |
7.09 |
0.8506462 |
8.09 |
0.9079485 |
9.09 |
0.9585639 |
|
1.010 |
0.00432137 |
1.10 |
0.0413927 |
2.10 |
0.3222193 |
3.10 |
0.4913617 |
4.10 |
0.6127839 |
5.10 |
0.7075702 |
6.10 |
0.7853298 |
7.10 |
0.8512583 |
8.10 |
0.9084850 |
9.10 |
0.9590414 |
| 1.011 |
0.00475116 |
1.11 |
0.0453230 |
2.11 |
0.3242825 |
3.11 |
0.4927604 |
4.11 |
0.6138418 |
5.11 |
0.7084209 |
6.11 |
0.7860412 |
7.11 |
0.8518696 |
8.11 |
0.9090209 |
9.11 |
0.9595184 |
| 1.012 |
0.00518051 |
1.12 |
0.0492180 |
2.12 |
0.3263359 |
3.12 |
0.4941546 |
4.12 |
0.6148972 |
5.12 |
0.7092700 |
6.12 |
0.7867514 |
7.12 |
0.8524800 |
8.12 |
0.9095560 |
9.12 |
0.9599948 |
| 1.013 |
0.00560945 |
1.13 |
0.0530784 |
2.13 |
0.3283796 |
3.13 |
0.4955443 |
4.13 |
0.6159501 |
5.13 |
0.7101174 |
6.13 |
0.7874605 |
7.13 |
0.8530895 |
8.13 |
0.9100905 |
9.13 |
0.9604708 |
| 1.014 |
0.00603795 |
1.14 |
0.0569049 |
2.14 |
0.3304138 |
3.14 |
0.4969296 |
4.14 |
0.6170003 |
5.14 |
0.7109631 |
6.14 |
0.7881684 |
7.14 |
0.8536982 |
8.14 |
0.9106244 |
9.14 |
0.9609462 |
| 1.015 |
0.00646604 |
1.15 |
0.0606978 |
2.15 |
0.3324385 |
3.15 |
0.4983106 |
4.15 |
0.6180481 |
5.15 |
0.7118072 |
6.15 |
0.7888751 |
7.15 |
0.8543060 |
8.15 |
0.9111576 |
9.15 |
0.9614211 |
| 1.016 |
0.00689371 |
1.16 |
0.0644580 |
2.16 |
0.3344538 |
3.16 |
0.4996871 |
4.16 |
0.6190933 |
5.16 |
0.7126497 |
6.16 |
0.7895807 |
7.16 |
0.8549130 |
8.16 |
0.9116902 |
9.16 |
0.9618955 |
| 1.017 |
0.00732095 |
1.17 |
0.0681859 |
2.17 |
0.3364597 |
3.17 |
0.5010593 |
4.17 |
0.6201361 |
5.17 |
0.7134905 |
6.17 |
0.7902852 |
7.17 |
0.8555192 |
8.17 |
0.9122221 |
9.17 |
0.9623693 |
| 1.018 |
0.00774778 |
1.18 |
0.0718820 |
2.18 |
0.3384565 |
3.18 |
0.5024271 |
4.18 |
0.6211763 |
5.18 |
0.7143298 |
6.18 |
0.7909885 |
7.18 |
0.8561244 |
8.18 |
0.9127533 |
9.18 |
0.9628427 |
| 1.019 |
0.00817418 |
1.19 |
0.0755470 |
2.19 |
0.3404441 |
3.19 |
0.5037907 |
4.19 |
0.6222140 |
5.19 |
0.7151674 |
6.19 |
0.7916906 |
7.19 |
0.8567289 |
8.19 |
0.9132839 |
9.19 |
0.9633155 |
|
1.020 |
0.00860017 |
1.20 |
0.0791812 |
2.20 |
0.3424227 |
3.20 |
0.5051500 |
4.20 |
0.6232493 |
5.20 |
0.7160033 |
6.20 |
0.7923917 |
7.20 |
0.8573325 |
8.20 |
0.9138139 |
9.20 |
0.9637878 |
| 1.021 |
0.00902574 |
1.21 |
0.0827854 |
2.21 |
0.3443923 |
3.21 |
0.5065050 |
4.21 |
0.6242821 |
5.21 |
0.7168377 |
6.21 |
0.7930916 |
7.21 |
0.8579353 |
8.21 |
0.9143432 |
9.21 |
0.9642596 |
| 1.022 |
0.00945090 |
1.22 |
0.0863598 |
2.22 |
0.3463530 |
3.22 |
0.5078559 |
4.22 |
0.6253125 |
5.22 |
0.7176705 |
6.22 |
0.7937904 |
7.22 |
0.8585372 |
8.22 |
0.9148718 |
9.22 |
0.9647309 |
| 1.023 |
0.00987563 |
1.23 |
0.0899051 |
2.23 |
0.3483049 |
3.23 |
0.5092025 |
4.23 |
0.6263404 |
5.23 |
0.7185017 |
6.23 |
0.7944880 |
7.23 |
0.8591383 |
8.23 |
0.9153998 |
9.23 |
0.9652017 |
| 1.024 |
0.01029996 |
1.24 |
0.0934217 |
2.24 |
0.3502480 |
3.24 |
0.5105450 |
4.24 |
0.6273659 |
5.24 |
0.7193313 |
6.24 |
0.7951846 |
7.24 |
0.8597386 |
8.24 |
0.9159272 |
9.24 |
0.9656720 |
| 1.025 |
0.01072387 |
1.25 |
0.0969100 |
2.25 |
0.3521825 |
3.25 |
0.5118834 |
4.25 |
0.6283889 |
5.25 |
0.7201593 |
6.25 |
0.7958800 |
7.25 |
0.8603380 |
8.25 |
0.9164539 |
9.25 |
0.9661417 |
| 1.026 |
0.01114736 |
1.26 |
0.1003705 |
2.26 |
0.3541084 |
3.26 |
0.5132176 |
4.26 |
0.6294096 |
5.26 |
0.7209857 |
6.26 |
0.7965743 |
7.26 |
0.8609366 |
8.26 |
0.9169800 |
9.26 |
0.9666110 |
| 1.027 |
0.01157044 |
1.27 |
0.1038037 |
2.27 |
0.3560259 |
3.27 |
0.5145478 |
4.27 |
0.6304279 |
5.27 |
0.7218106 |
6.27 |
0.7972675 |
7.27 |
0.8615344 |
8.27 |
0.9175055 |
9.27 |
0.9670797 |
| 1.028 |
0.01199311 |
1.28 |
0.1072100 |
2.28 |
0.3579348 |
3.28 |
0.5158738 |
4.28 |
0.6314438 |
5.28 |
0.7226339 |
6.28 |
0.7979596 |
7.28 |
0.8621314 |
8.28 |
0.9180303 |
9.28 |
0.9675480 |
| 1.029 |
0.01241537 |
1.29 |
0.1105897 |
2.29 |
0.3598355 |
3.29 |
0.5171959 |
4.29 |
0.6324573 |
5.29 |
0.7234557 |
6.29 |
0.7986506 |
7.29 |
0.8627275 |
8.29 |
0.9185545 |
9.29 |
0.9680157 |
|
1.030 |
0.01283722 |
1.30 |
0.1139434 |
2.30 |
0.3617278 |
3.30 |
0.5185139 |
4.30 |
0.6334685 |
5.30 |
0.7242759 |
6.30 |
0.7993405 |
7.30 |
0.8633229 |
8.30 |
0.9190781 |
9.30 |
0.9684829 |
| 1.031 |
0.01325867 |
1.31 |
0.1172713 |
2.31 |
0.3636120 |
3.31 |
0.5198280 |
4.31 |
0.6344773 |
5.31 |
0.7250945 |
6.31 |
0.8000294 |
7.31 |
0.8639174 |
8.31 |
0.9196010 |
9.31 |
0.9689497 |
| 1.032 |
0.01367970 |
1.32 |
0.1205739 |
2.32 |
0.3654880 |
3.32 |
0.5211381 |
4.32 |
0.6354837 |
5.32 |
0.7259116 |
6.32 |
0.8007171 |
7.32 |
0.8645111 |
8.32 |
0.9201233 |
9.32 |
0.9694159 |
| 1.033 |
0.01410032 |
1.33 |
0.1238516 |
2.33 |
0.3673559 |
3.33 |
0.5224442 |
4.33 |
0.6364879 |
5.33 |
0.7267272 |
6.33 |
0.8014037 |
7.33 |
0.8651040 |
8.33 |
0.9206450 |
9.33 |
0.9698816 |
| 1.034 |
0.01452054 |
1.34 |
0.1271048 |
2.34 |
0.3692159 |
3.34 |
0.5237465 |
4.34 |
0.6374897 |
5.34 |
0.7275413 |
6.34 |
0.8020893 |
7.34 |
0.8656961 |
8.34 |
0.9211661 |
9.34 |
0.9703469 |
| 1.035 |
0.01494035 |
1.35 |
0.1303338 |
2.35 |
0.3710679 |
3.35 |
0.5250448 |
4.35 |
0.6384893 |
5.35 |
0.7283538 |
6.35 |
0.8027737 |
7.35 |
0.8662873 |
8.35 |
0.9216865 |
9.35 |
0.9708116 |
| 1.036 |
0.01535976 |
1.36 |
0.1335389 |
2.36 |
0.3729120 |
3.36 |
0.5263393 |
4.36 |
0.6394865 |
5.36 |
0.7291648 |
6.36 |
0.8034571 |
7.36 |
0.8668778 |
8.36 |
0.9222063 |
9.36 |
0.9712758 |
| 1.037 |
0.01577876 |
1.37 |
0.1367206 |
2.37 |
0.3747483 |
3.37 |
0.5276299 |
4.37 |
0.6404814 |
5.37 |
0.7299743 |
6.37 |
0.8041394 |
7.37 |
0.8674675 |
8.37 |
0.9227255 |
9.37 |
0.9717396 |
| 1.038 |
0.01619735 |
1.38 |
0.1398791 |
2.38 |
0.3765770 |
3.38 |
0.5289167 |
4.38 |
0.6414741 |
5.38 |
0.7307823 |
6.38 |
0.8048207 |
7.38 |
0.8680564 |
8.38 |
0.9232440 |
9.38 |
0.9722028 |
| 1.039 |
0.01661555 |
1.39 |
0.1430148 |
2.39 |
0.3783979 |
3.39 |
0.5301997 |
4.39 |
0.6424645 |
5.39 |
0.7315888 |
6.39 |
0.8055009 |
7.39 |
0.8686444 |
8.39 |
0.9237620 |
9.39 |
0.9726656 |
|
1.040 |
0.01703334 |
1.40 |
0.1461280 |
2.40 |
0.3802112 |
3.40 |
0.5314789 |
4.40 |
0.6434527 |
5.40 |
0.7323938 |
6.40 |
0.8061800 |
7.40 |
0.8692317 |
8.40 |
0.9242793 |
9.40 |
0.9731279 |
| 1.041 |
0.01745073 |
1.41 |
0.1492191 |
2.41 |
0.3820170 |
3.41 |
0.5327544 |
4.41 |
0.6444386 |
5.41 |
0.7331973 |
6.41 |
0.8068580 |
7.41 |
0.8698182 |
8.41 |
0.9247960 |
9.41 |
0.9735896 |
| 1.042 |
0.01786772 |
1.42 |
0.1522883 |
2.42 |
0.3838154 |
3.42 |
0.5340261 |
4.42 |
0.6454223 |
5.42 |
0.7339993 |
6.42 |
0.8075350 |
7.42 |
0.8704039 |
8.42 |
0.9253121 |
9.42 |
0.9740509 |
| 1.043 |
0.01828431 |
1.43 |
0.1553360 |
2.43 |
0.3856063 |
3.43 |
0.5352941 |
4.43 |
0.6464037 |
5.43 |
0.7347998 |
6.43 |
0.8082110 |
7.43 |
0.8709888 |
8.43 |
0.9258276 |
9.43 |
0.9745117 |
| 1.044 |
0.01870050 |
1.44 |
0.1583625 |
2.44 |
0.3873898 |
3.44 |
0.5365584 |
4.44 |
0.6473830 |
5.44 |
0.7355989 |
6.44 |
0.8088859 |
7.44 |
0.8715729 |
8.44 |
0.9263424 |
9.44 |
0.9749720 |
| 1.045 |
0.01911629 |
1.45 |
0.1613680 |
2.45 |
0.3891661 |
3.45 |
0.5378191 |
4.45 |
0.6483600 |
5.45 |
0.7363965 |
6.45 |
0.8095597 |
7.45 |
0.8721563 |
8.45 |
0.9268567 |
9.45 |
0.9754318 |
| 1.046 |
0.01953168 |
1.46 |
0.1643529 |
2.46 |
0.3909351 |
3.46 |
0.5390761 |
4.46 |
0.6493349 |
5.46 |
0.7371926 |
|
